Правильные фигуры в геометрии

равны и все углы равны. 
Центром правильного многоугольника называется точка,

равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон.
Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра.

около окружности.
Центр правильного многоугольника совпадает с центрами вписанной и

описанной окружностей. 
Периметры правильных n-угольников относятся как радиусы описанных окружностей.

– но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться

в самые глубины различных наук».

плоских многоугольников. 
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну

сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности.
Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками.
Стороны граней называются рёбрами многогранника, а вершины – вершинами многогранника.

около тетраэдра параллелепипед.
Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан

противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.
Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.
Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.
Теорема. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.

проходят через центр куба перпендикулярно четырём его главным диагоналям.
В

куб можно вписать тетраэдр двумя способами. В обоих случаях четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба и все шесть рёбер тетраэдра будут принадлежать граням куба. В первом случае все вершины тетраэдра принадлежат граням трехгранного угла, вершина которого совпадает с одной из вершин куба. Во втором случае попарно скрещивающиеся ребра тетраэдра принадлежат попарно противолежащим граням куба. Такой тетраэдр является правильным.
В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.
В куб можно вписать икосаэдр, при этом шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра — внутри куба. Все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.

многогранник, составленный из 12 равносторонних пятиугольников. Додекаэдр имеет 20 вершин

и 30 ребер. Вершина додекаэдра является вершиной трех пятиугольников, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.

грань) Правильный многогранник, составленный из 8 равносторонних треугольников.
Октаэдр

имеет 6 вершин и 12 рёбер. На примере октаэдра можно проверить формулу Эйлера 6в+8г-12р=2. В каждой вершине сходятся 4 треугольника ,таким образом, сумма плоских углов при вершине октаэдра составляет 240°.Из определения правильного многогранника следует, что все ребра октаэдра имеют равную длину, а грани - равную площадь.

рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные

24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба
В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
В икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра.
Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12×5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12×5=90.