Координатно-векторный метод решения стереометрических задач

«Координатно-векторный
метод решения
стереометрических задач»

вектора
4. Скалярное произведение векторов
где α – угол

между векторами

5. Скалярное произведение в координатах

6. Угол между векторами

Т.о. зная координаты точек можно найти координаты векторов и пользуясь формулой (п.6) косинус угла между этими векторами.

Векторы и угол между ними

N

- направляющий вектор прямой MN.

Уравнение прямой MN:

Прямая

M

– вектор нормали плоскости
– это вектор

перпендикулярный
этой плоскости

и

Уравнение плоскости:

где A, B, C – координаты вектора нормали плоскости, т.е.

* Если плоскость проходит через начало координат,
то D = 0, если нет, то D = 1.
Чтобы найти координаты вектора нормали (составить уравнение плоскости(MNP)) надо подставить координаты точек M, N, и P и решить систему из трех уравнений с
тремя неизвестными A, B, C.

Плоскость

-
3. Угол межу прямой и плоскостью -
это угол

между их направляющими векторами

это угол между их нормалями

это угол равный разности 90°−угол между их
направляющим вектором и нормалью

В  задачах типа C2 никаких координат и векторов нет.

Поэтому их придется вводить самостоятельно.

Заметим, что координаты точек верхней плоскости отличаются от соответствующих координат точек нижней плоскости только
координатой z.

Стандартное введение системы координат для куба показано на рис.
Теперь у каждой вершины куба есть координаты.
Выпишем их:

А(0; 0; 0) В(1; 0; 0) С(1; 1; 0) D(0; 1; 0)
А1(0; 0; 1) В1(1; 0; 1) С1(1; 1; 1) D1(0; 1; 1)

1. Куб

координаты точек:
А(0; 0; 0) В(а; 0; 0)

С(a; b; 0) D(0; b; 0)
А1(0; 0; c) В1(a; 0; c) С1(a; b; c) D1(0; b; c)

2. Прямоугольный параллелепипед

Введение системы координат

призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;
Ось x направляем

по ребру AB, z — по ребру AA1, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.
ГЛАВНОЕ учесть, что ось y НЕ совпадает с ребром AC, т.к. треугольник ABC — равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому вид сверху будет выглядеть так: рис.1.

Проведем в этом треугольнике высоту CH. Треугольник ACH — прямоугольный, причем AC = 1, поэтому
AH = 1 · cos A = cos 60°;
CH = 1 · sin A = sin 60°.
Это надо для вычисления координат точки С.

точек:
3. Правильная треугольная призма
Введение системы координат

на рис.
Пусть все ребра равны 1.

координат.
Рассмотрим плоскость OXY.
В основании лежит квадрат, его
координаты известны.
Найдем

координаты точки S.
Т.к. SH — высота к плоскости OXY,
точки S и H отличаются лишь координатой z.
Длина отрезка SH — это и есть координата z
для точки S, координаты точки H = (0,5; 0,5; 0).

Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам
(AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC — общая). Следовательно,
SH = BH. Но BH — половина диагонали квадрата ABCD,
т.е. BH = AB · sin 45°. Т.о. получаем координаты всех точек:

( * Если он «-», то находим cos β )
из

прямоугольного ΔMBS
( * или ΔMАS ) находим MS

MS − ?

C1
А

D

II. Расстояния

3. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Рассмотрим его нахождение на примере: ABCDA1B1C1D1 – единичный куб. Найдём расстояние между скрещивающимися прямыми BD1 и AB1.

И для определения его координат воспользуемся формулой для нахождения координат точки делящей отрезок в заданном отношении.

E

F

A(0; 0; 0) В1(0; 1; 1) В(0; 1; 0) D1(1; 0; 1)

Обозначим EF их общий перпендикуляр и

F(q; 1-q; q)
Т.к.
и
то их скалярное произведение

равно нулю.
Решив систему

получаем

Следовательно

.

(Продолжение) Расстояние между скрещивающимися прямыми