окружность

одну общую точку. В этом случае окружности касаются к окружности.

Общая точка называется точкой касания;

в) иметь две общие точки. В этом случае говорят, что окружности пересекаются.

радиусов или меньше их разности, то эти окружности не имеют

общих точек.

Доказательство. Пусть даны две окружности с центрами в точках О1, О2 и радиусами соответственно R1, R2, R1 + R2 < O1O2. Рассмотрим точку С на первой окружности, О1С = R1. Тогда O2C O1O2 - O1C > R1 + R2 - R1 = R2 и, следовательно, точка С не принадлежит второй окружности. Значит, эти окружности не имеют общих точек. Аналогичным образом доказывается, что если O1O2 < R1- R2 (R1 > R2), то окружности также не имеют общих точек.

разности их радиусов, то эти окружности касаются.
Доказательство. Пусть даны

две окружности с центрами в точках О1, О2 и радиусами соответственно R1, R2, R1+R2 = O1O2. Рассмотрим точку С на отрезке О1О2, для которой О1С = R1, O2C = R2. Она будет общей точкой для данных окружностей. Если D – точка на первой окружности, отличная от С, то из неравенства треугольника следует, что О2D > O1O2 - O1D = R1 + R2 - R1 = R2, следовательно, точка D не принадлежит второй окружности. Значит, данные окружности имеют только одну общую точку, т.е. касаются. Аналогичным образом доказывается, что если O1O2 = R1- R2 (R1 > R2), то окружности также касаются.

и больше их разностей, то эти окружности пересекаются.

одну или две.

касающимися, если они имеют только одну общую точку.

если они имеют две общие точки.

имеют общий центр.

Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов

или меньше их разности.

б) внутренним образом?
Ответ: а) Если расстояние между их центрами равно

сумме радиусов;

б) если расстояние между их центрами равно разности радиусов.

центрами двух окружностей меньше суммы радиусов и больше их разностей.

расстоянии, равном 5 см, от центра окружности. Найдите радиус окружности,

касающейся данной и имеющей центр в точке А.

Ответ: 2 см.

расположены эти окружности по отношению друг к другу, если их

радиусы равны: а) 2 см и 3 см; б) 2 см и 2 см?

Ответ: а) Касаются;

б) не имеют общих точек.

расположены эти окружности по отношению друг к другу, если их

радиусы равны: а) 3 см и 5 см; б) 2 см и 5 см?

Ответ: а) Касаются;

б) не имеют общих точек.

равны 4 см и 6 см, если окружности: а) касаются

внешне; б) касаются внутренне?

Ответ: а) 10 см;

б) 4 см.

этих окружностей, если ширина кольца, образованного ими, равна 24 см.
Ответ:

36 см и 84 см.

2:3. Найдите диаметры окружностей, если расстояние между их центрами равно

10 см.

Ответ: 8 см и 12 см.

если они относятся как 5:2, а расстояние между центрами равно

15 см.

Ответ: 25 см и 10 см.

суммы их радиусов R1 и R2. Найдите наименьшее расстояние между

точками, расположенными на данных окружностях.

суммы их радиусов R1 и R2. Найдите наибольшее расстояние между

точками, расположенными на данных окружностях.

Ответ: d + R1 + R2.

разности R1 – R2 их радиусов. Найдите наименьшее и наибольшее

расстояния между точками, расположенными на данных окружностях.

Ответ: R1 – R2 – d; R1 + R2 + d.

б) четыре окружности; в) пять окружностей?
Ответ: а) Да;
в) нет.

радиуса?
Ответ: Нет.

две окружности; б) три окружности; в) четыре окружности?
Ответ: а) 2;

б) 6;

одна окружность; б) две окружности; в) три окружности?
Ответ: а) 2;

б) 4;

радиусами R1, R2 разбили плоскость на четыре области. Какой области

принадлежит точка A, для которой выполняются неравенства:
а) AO1 < R1 и AO2 < R2;
б) AO1 < R1 и AO2 > R2;
в) AO1 > R1 и AO2 < R2;
г) AO1 > R1 и AO2 > R2;

Ответ: а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 4.

которым удовлетворяет точка A, принадлежащая области: а) 1; б) 2;

в) 3; г) 4.

Ответ:
а) AO1 < R1, AO2 < R2, AO3 < R3;

б) AO1 < R1, AO2 < R2, AO3 > R3;

в) AO1 > R1, AO2 > R2, AO3 < R3;

г) AO1 > R1, AO2 > R2, AO3 > R3.