Правильная треугольная пирамида

г.Воронеж

Презентация на тему:

общую вершину.
M-вершина пирамиды ;
MA , MB , MC –

рёбра
пирамиды ;
MAB , MBC , MAC –
боковые грани пирамиды ;
ABC – основание пирамиды ;
MO – высота ;
MK – апофема ;
MKB – диагональное сечение .

в вершине пирамиды;
боковые ребра — общие стороны боковых граней;
вершина пирамиды — точка,

соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая её высоту.

а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими

свойствами:
боковые ребра - равны;
все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу;
если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно π/n, где n  — количество сторон многоугольника основания;
площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Усеченная пирамида, которая получается из правильной, также называется правильной. Боковые грани правильной усеченной пирамиды- равные равнобокие трапеции; их высоты называются апофемами.

боковые ребра равны, то:
около основания пирамиды можно описать окружность, причём

вершина пирамиды проецируется в её центр;
боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:
в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
высоты боковых граней равны;
площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

по формуле:



Где S  —площадь основания и h  — высота;
Боковая поверхность —

это сумма площадей боковых граней:





Полная поверхность — это сумма боковой поверхности и площади основания:

формулы:



где  а - апофема боковой грани, P —периметр основания, n — число

сторон основания ( для треугольной пирамиды – 3 ),  b— боковое ребро, α — плоский угол при вершине пирамиды.

боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников

— граней пирамиды и правильного теугольника — основания. Поэтому построение развёртки пирамиды сводится к определению натуральной величины основания и граней пирамиды. Грани пирамиды можно построить по трём сторонам треугольников, их образующих. Для этого необходимо знать натуральную величину рёбер и сторон основания. Определение истинной величины основания и рёбер пирамиды.

проекций);
Определяют истинную величину всех рёбер пирамиды любым из известных способов

(в данном примере натуральная величина всех рёбер пирамиды определена методом вращения вокруг оси, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций и проходящей через вершину пирамиды);
Строят основание пирамиды и по найденным трём сторонам строят какую-либо из боковых граней, пристраивая к ней следующие.
Точки, расположенные внутри контура развёртки, находят во взаимно однозначном соответствии с точками поверхности многогранника. Но каждой точке тех рёбер, по которым многогранник разрезан, на развёртке соответствуют две точки, принадлежащие контуру развёртки.

сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник (необходимое

и достаточное условие).[Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в

пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

одному основанию, а другое его основание совпадает с окружностью вписанной

в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Причём вписать цилиндр в пирамиду можно только тогда, когда в основании пирамиды — описанный многоугольник (необходимое и достаточное условие);
Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания цилиндра. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).