Свойства параллелепипеда

2013г.

Стереометрия
Какое тело «аналогично» параллелограмму?
Какие элементы параллелепипеда

«аналогичны»
сторонам параллелограмма?

Каковы свойства сторон параллелограмма?

Изучите модель параллелепипеда и определите, какими свойствами обладают его грани?

Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны

Докажем это

BB1C1C
ABCD || A1B1C1D1
AA1B1B ||

DD1C1C

2) AA1D1D = BB1C1C
ABCD = A1B1C1D1
AA1B1B = DD1C1C

О какой фигуре идёт речь в теореме?

Что требуется доказать?

Определите противоположные грани и запишите требование теоремы

Теорема:

D1

каких гранях идёт речь?
Сколько пар граней достаточно рассмотреть для
доказательства их

параллельности?

Если взять грань AA1D1D, тогда какая будет ей противоположной?

BB1C1C

Что значит, что грани параллельны?

Лежат в параллельных плоскостях

Что используют для док-ва параллельности плоскостей?

Признак: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны

Можно ли выделить такие пары прямых?

AA1 и BB1 , AD и BC

Из какой фигуры можно сделать вывод, что АА1|| BB1?

Почему AD||BC?

Что ещё нужно знать об выбранных прямых одной плоскости?

Они должны пересекаться

Какой вывод сделаем?

AA1D1D || BB1C1C

Одну

Выполняется это условие?

каких гранях идёт речь?
А
В
С
D
A1
B1
C1

D1
Докажем для граней АА1D1D и ВВ1С1С.
В

каком случае два параллелограмма равны?

Параллелограммы

Когда соответствующие элементы одного параллелограмма равны соответствующим другого параллелограмма

Сколько пар равных элементов достаточно найти?

3 пары

Можно ли взять стороны AD и AA1 и ∠A1AD параллелограмма АА1 D1D? Почему?

Тогда назовите соответствующие элементы второго параллелограмма

Какой сделаем вывод?

AA1D1D = BB1C1C

Это 2 смежные стороны и угол между ними

Будет ли выполнятся равенство соответствующих элементов?

∠A1AD = ∠ B1ВC, как углы с сонаправленными сторонами

Что представляют собой грани параллелепипеда?

и ADD1A1 – параллелограммы, то AB||DC и AA1||DD1.

Таким
образом, две пересекающиеся прямые AB и AA1 одной грани соответственно
параллельны двум прямым CD и DD1 другой грани. Отсюда по признаку
параллельности плоскостей следует, что грани ABB1A1 и DCC1D1 параллельны.
Так как все грани параллелепипеда – параллелограммы, то AB=DC и
AA1=DD1. По этой же причине стороны углов A1AB и D1DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким образом, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма ABB1A1 соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма DCC1D1, поэтому эти параллелограммы равны.

Выделите этапы доказательства.

1.

2.

1)

3)

1)

2)

3)

2)

На чем основано доказательстве параллельности граней?

На чём основано доказательство равенства граней?

A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

Докажем, например, параллельность и равенство граней АВВ1А1 и DCC1D1

Выделите этапы его применения.

Выделите этапы его применения.

Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны
Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелограмм
Доказать:

1. ABCD || A1B1C1D1
AA1B1B || DD1C1C
AA1D1D || BB1C1C
2. ABCD = A1B1C1D1
AA1B1B = DD1C1C
AA1D1D = BB1C1C

Сравните свое оформление с предложенным и сделайте выводы для себя

параллельны и равны
Дано: АВСDА1В1С1D1 - параллелепипед
АА1 = 6 см; AD

= 4 см

∠A1AD = 60°

Найти: B1C

Дано: AD1 =8 см
A1D =6 см
AD1∩ A1D = O

∠AOD = 30°

Найти: CB

8

6

O

30

?

Решение:

A1D=√36+16-2*6*4*cos60°=√22

Т.к. A1D = B1C ,то B1C = √22

Решение:

AD=√16+9-2*3*4*cos30°=√25-12√3

Т.к. AD = BC, то BC =√25-12√3

Составьте задачу по чертежу

Решите задачу

Нанесите данные на чертеж

Решите задачу