Теорема Менелая 11 класс

и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но многие удивительные

соотношения и изящные геометрические факты не вошли в основной курс.
Из школьного курса нам известны теоремы о замечательных точках в треугольнике: три биссектрисы (медианы, высоты) пересекаются в одной точке. Эти свойства являются следствиями теоремы Менелая.

Введение

геометрии и тригонометрии на сфере – первой неевклидовой геометрии. Время

его жизни и деятельности определяется приведёнными в «Алмагесте» Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвёл в Риме в первом году царствования Траяна, то есть в 98 году н. э.
Его работы: главным сочинением Меналая является «Сферика» в трёх книгах, сочинения «О вычислении хорд» в 6 книгах, «Начала геометрии» в 3 книгах, «Книга о треугольнике», «Книга о заходах знаков зодиака», «Книга о подразделении составных тел», посвящённая определению удельных весов тел, книга по гидростатике.

первым ввел в геометрический обиход и исследовал простейший сферический многоугольник

– треугольник. Он перенес на сферу евклидову теорию плоских треугольников и в числе прочего получил условие, при котором три точки на сторонах сферического треугольника или их продолжениях лежат на одной прямой. Интересно, что соответствующая теорема для плоскости в то время была уже широко известна, однако в историю геометрии она вошла именно как теорема Менелая.

Биография ученого

правилом шести количеств. Содержание ее состоит в следующем. Если все

стороны треугольника пересечь прямой, то произведение их трех отрезков, из числа не имеющих общих концов, равно произведению таких же трех остальных отрезков. Менелай выражал свою теорему в виде пропорции a1:b1=b2b3:a2a3, в которой буквы a1, a2 и а3 и, соответственно, буквы b1, b2 и b3 обозначают не имеющие общих концов отрезки трех сторон треугольника. Словесным выражением этой пропорции было предложение: а1 находится к b1 в таком же сложном отношении, в каком находятся b2 к а2 и b3 к a3.

Биография ученого

ABC взяты соответственно точки C1, A1, B1. Точки A1, B1,

C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

Теорема Менелая

вершину C треугольника ABC проведем прямую, параллельную a и обозначим

через D точку её пересечения с AB. Из подобия треугольников ADC и AC1B1 следует выполнимость равенства:




Аналогично, из подобия треугольников BDC и BC1A1 следует выполнимость равенства:

Теорема Менелая

Перемножая эти равенства, получим равенство:


из которого следует требуемое равенство.

AC треугольника ABC взяты соответственно точки С1, А1, В1, для

которых выполняется равенство .
Предположим, что прямая A1B1 пересекает прямую AB в некоторой точке С`. По доказанному, выполняется равенство:


Учитывая первое равенство, получаем равенство : , из которого следует совпадение точек C`и C1 и, значит, точки A1, B1, C1 принадлежат одной прямой.

Теорема Менелая

АВС в точках X и Y соответственно, а продолжение стороны

АС – в точке Z, то


 
 
 

N так, что NC = 3BN;на продолжении стороны АС за

точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторо­ну АВ в точке F. Найдите отношение .

Задачи на теорему Менелая

МА = АС = b, BN =k, NC = 3k.

Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая:

Ответ: 2 : 3.

точка Р лежит на стороне ВС. Отрезок АР пересекает ВМ

в точке О. Оказалось, что ВО=ВР. Найти отношение ОМ:РС.

параллельную ВМ; точку пересечения этой прямой с прямой АР обозначим

через К.
Рассмотрим треугольники ОВР и КСР. Углы ОРВ и КРС равны как вертикальные, углы ВОР и СКР равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВМ и СК секущей АК. Поскольку по условию треугольник ОВР равнобедренный, угол ВОР = углу ОРВ, значит, и угол СРК= углу СКР. Значит, треугольник СКР – равнобедренный, т.е. СР=КС. Но, (например, по т. Фалеса) ОМ – средняя линия треугольника САК, она в 2 раза меньше, чем СК. Получаем, что ОМ:РС = ОМ:СК = 1:2
2 способ. По т. Менелая для треугольника МВС и прямой АР выполняется равенство:

Тогда, используя условия АМ=МС и ВО=ВР
получим, что МО:РС=1:2.
Ответ: 1:2.

AD взята точка К так, что АК : KD =

3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.

тогда АК = 3т. Пусть Р — точка пересечения прямой

ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то

По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем:

Итак,

Ответ: 3:2.

в отношении р, а точка N делит отрезок DC в

отношении q. Прямые ВМ и AN пересекаются в точке S. Вычислите отношение AS : SN.

если MD = b, то AM = pb;

если NC = a, то ND = aq.
Пусть В1 – точка пересечения прямых ВМ и CD. ~ , тогда



Прямая ВВ1 пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника AND. По теореме Менелая:



Откуда

Ответ:

соответственно сторонам АВ и ВС.
АК : ВК = 1

: 2,
CL : BL = 2 : 1.
Q — точка пересечения отрезков AL и СК . S = 1. Найдите площадь треугольника АВС.

продолжение третьей стороны. По теореме Менелая:

(1)
В треугольнике АВМ прямая КС пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая:

(2)


то есть MC = 4.p, AM = p.
2) Еще раз перепишем равенство (1):
то есть
3) Треугольники BQC и МВС имеют общий угол, значит,
Тогда = .

вершины В, значит,

=
=

Ответ: 1,75.

точках А1 и А2.
Доказать: что прямая А1А2 проходит через точку

пересечения общих внутренних или внешних касательных к окружностям S1 и S2.

S1

S2

A2

A1

S

и S2; X – точка
пересечения прямых О1О2 и А1А2.
Применяя теорему

Менелая к
треугольнику ОО1О2 и точкам А1,
А2 и Х, получаем:


а значит, О1Х : О2Х = R1 : R2, где
R1 и R2 – радиусы окружностей
S1 и S2. Следовательно, Х – точка
пересечения общих внешних или внутренних
касательных к окружностям S1 и S2.

X

S

A1

A2

O1

O2

S1

S2

О

а на стороне РR — точка L, причем NQ =

LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении т : п , считая от точки Q. Найдите

Пусть NA = LR = а, QF =

km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая:

Ответ: n : m.

8, ВС = 5, АС =4. А1 и С1 —

точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р — точка пересечения отрезков АА1 и СС1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ1 Найдите АР: РА1.

В1, так как треугольник АВС — разносторонний. Пусть С1В =

х , тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из од­ной точки, введем обозначения (см. рисунок)
8- x + 5 – x = 4, x
Значит,

В треугольнике АВА1, прямая С1С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая:

Ответ: 70 : 9.

8, ВС = 12, АС = 9, А1 и С1

— точки касания, лежащие соответственно на сторонах ВС и АВ. Q — точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1. Q лежит на высоте ВВ1. Найдите отношение BQ : QB1

с точкой касания.
1) Пусть С1В = х, тогда, используя свойство

касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см. рисунок):
(13 – х) + (12 – х) = 9, х = 8.
Значит, С1В = 8, АС1 = 5.
2) По формуле Герона: S =
S =



3) Из треугольника ABB1 (прямоугольного) по теореме Пифагора :


4) В треугольнике ABB1 прямая CC1 пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая:

треугольника АВС так, что BP : PQ :

QC = 1 : 2 : 3. Точка R делит сторону АС этого треугольника таким образом, что AR : RC = 1 : 2. Чему равно отношение площади четырехугольника PQST к площади треугольника АВС, где S и T - точки пересечения прямой ВR с прямыми АQ и АP соответственно.

= 2x, QC = 3x, RC = 2y. Вычислим, какую

часть площадь четырехугольника PQST составляет от площади треугольника APQ, а значит, и от площади треугольника ABC. Для этого нам понадобятся отношения, в которых точки S и T делят прямые AQ и AP соответственно. Применим к треугольнику ACQ и секущей SR теорему Менелая:

Аналогично, применив теорему Менелая к треугольнику ACP и секущей TR, получим:

Далее:

и ABC, получим, что
Ответ: .

длина медианы СE равна 5, расстояние от точки пересечения ВD

с СE до стороны АС равно 1. Найти длину стороны АВ.

CE. Расстояние от точки О до середины AC(равное по условию

единице) есть длина отрезка OD. Итак, OD = 1 и OB = 5. Применим к треугольнику ABD и секущей OE теорему Менелая:

Применив теперь теорему Менелая к треугольнику ACE и секущей OD, получим, что

откуда OE = 2CO, и с учетом OE + CO = CE = 5 получаем, что CO = . К прямоугольному треугольнику COD применим теорему Пифагора:

Значит, AD = 4CD = . Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник ABD, в нем также воспользуемся теоремой Пифагора:

Ответ: .

А и В соответственно к сторонам ВС и ФС, пересекаясь

в точке Р, делятся в отношении АР:РД =3:2 и ВР:РМ=4:5. В каком отношении точки Д и М делят стороны треугольника, считая от С?
В треугольнике АВС точка Д делит сторону ВС в отношении ВД:ДС=3:4. Точка М делит сторону АС в отношении АМ:МС=2:5. Отрезки АД и ВМ пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АКМ, если площадь треугольника ВКД равна 45.
В треугольнике АВС точка К делит сторону АВ в отношении АК:КВ=1:2, а точка Р делит сторону ВС в отношении СР:РВ=2:1. Прямые АР и СК пересекаются в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника ВМС равна 4.

Дополнительные задачи

а сторону ВС - в отношении ВР:РС=3:1. Медиана ВВ1 пересекает

прямую КР в точке М. При этом площадь четырехугольника В1МРС равна 17. Найдите площадь треугольника АВС.
В треугольнике АВС на основании АС взяты точки Р и Т, так что АР < АТ. Прямые ВР и ВТ делят медиану АМ на три равные части. Найдите АС, если РТ=3.
В треугольнике АВС площади 18 проведены отрезки ВМ и АК, причем точки М и К делят соответственно стороны АС и ВС в отношении АМ:МС=3:4 и ВК:КС=2:7. Найдите площадь четырехугольника СМРК, где Р – точка пересечения отрезков ВМ и АК.
На сторонах треугольника АВС взяты точки М, К и Р такие, что АМ:МВ=ВК:КС=СР:РА=2:1. Отрезки СМ и ВР пересекаются в точке А1, АК и СМ - в точке В1, АК и ВР – в точке С1. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника А1В1С1 равна 1.

этих теорем, оправданы их применением при решении задач. Решение

задач с помощью теоремы Менелая более рационально, чем их решение другими способами, например векторным, которое требует дополнительных действий. Я считаю, что такие теоремы должны быть включены в основной курс геометрии 7-х-9-х классов, так как решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику учеников.
Теорема Менелая помогает быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности, в том числе и задачи уровня С единого государственного экзамена.

Заключение

В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Часть I.
3. Володурин В.С. и

др. Пособие по элементарной геометрии. Учебное пособие для студентов физико-математи­ческих специальностей педвузов. — Оренбург, 1991.
4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Задачник.9—11 классы. — М.: Дрофа, 1996.
5. Б .Орач .Теорема Менелая. Квант № 3, 1991.

Список литературы