Вписанная окружность

если все стороны треугольника

Если окружность вписана в треугольник,
то треугольник описан около окружности.

и притом только одну.
Её центр – точка

Доказать: существует Окр.(О;r),
вписанная в треугольник

Доказательство:

Проведём биссектрисы треугольника:АА1, ВВ1, СС1.
По свойству (замечательная точка треугольника)
биссектрисы пересекаются в одной точке – О,
и эта точка равноудалена от всех сторон треугольника, т. е :

АОВ, ВОС, СОА.
соединим центр окружности с вершинами
треугольника и проведём

SABC = SAOB +SBOC + SAOC = ½ AB · r + ½ BC · r + ½ AC · r =
= ½ (AB + BC + AC) · r = ½ P · r.

вписана окружность. Найдите её радиус.
P =

Решение:

= ½ (a + b + c) · r
2S =

Вывод формулы для радиуса
вписанной в треугольник окружности

гипотенуза точкой касания делится на отрезки 6 см

Решение:

АВ = АМ + ВМ = 6 + 4 = 10(см)

По теореме Пифагора: АС2 + ВС2 = АВ2

,

АС= 6+ r, ВС = 4 + r

(6 + r)2 + (4 + r)2 = 102

Решив квадратное уравнение, получим r = 2 см

Ответ: 2 см

квадрат, значит, СК = СЕ = r
По свойству касательных:

АК = АМ = b - r

AB = AM + BM

c = b – r + a - r

2r = a + b - c

r = ½ (a + b – c)

Т. к. Окр.(О;r) вписана в треугольник АВС,
у которого угол С – прямой, то

АС, ВС, АВ – касательные и

в

то суммы противоположных сторон

Обратная теорема: если суммы противоположных сторон
выпуклого четырёхугольника равны,
то в него можно вписать окружность.

АВ + СК = ВС + АК.

( доказательство – в учебнике № 724 )

радиус которой равен 2 см. Найти

Решение: