"Арифметический корень степени n"

Бор
Ленинградская обл.

называют такое число a (если оно существует), n-я степень которого

равна b.

Для нечётного n существует только один корень из любого числа b. Понятия корня степени n из неотрицательного числа b и арифметического корня той же степени из того же числа b совпадают.

называют такое число a (если оно существует), n-я степень которого

равна b.

Для чётного n существуют два корня из положительного числа b. Один из них положительный :
это арифметический корень степени n из числа b.
это не арифметический
корень.

число (n ≥ 2), то запись

означает арифметический корень степе ни n из числа b.
2. Если b- отрицательное число, а n = 2m+ 1 (m ≥ 1) — нечётное число, то запись означает корень степени 2 m + 1 из числа b, но этот корень не является арифметическим корнем.
3. Если b — отрицательное число, а n = 2m (m ≥ 1)— четное число,
то запись не имеет смысла.

это записи корней,
не являющихся арифметическими.

в) Записи
- не имеют

смысла.

неотрицательного числа а справедливы равенства

есть по определению неотрицательное

число,
n-я степень которого есть а.
Это и выражается равенством 1).

≥ 0
и есть

по определению неотрицательное число, n-я степень которого есть аn. Таким числом является а.
Это и выражается равенством 2).

неотрицательных чисел а и b из равенства
аn

= bn следует равенство а = b.

Доказательство.

Известно, что существует только один корень n-й степени из неотрицательного числа. Поэтому для неотрицательных чисел из их равенства корней n-й степени из них, т. е. из равенства аn = bn следует равенство
Учитывая, что а ≥ 0 и b ≥ 0, и используя
равенство 2)
получаем, что
Следовательно, а = b.

неотрицательных чисел а, b и с (с ≠ 0)

из справедливы равенства

имеем






Правые части полученных равенств

равны. Следовательно, равны и левые их части:

Т. к. числа неотрицательны, то, применяя теорему 2, получаем, что справедливо равенство (3).
Аналогично доказывается равенство

2, 3 справедливы для любых действительных чисел а, b и

с (с≠0).
2). Для натурального числа m и любого действительного числа а справедливо равенство

потому, что

из числа b? Привести примеры.
Корнем степени n, (n ≥

2) из числа b называют такое число a (если оно существует), n-я степень которого равна b.

2. Что называют арифметическим корнем степени n, (n ≥ 2) из числа b? Привести примеры.

Неотрицательный корень степени n, (n ≥ 2) из неотрицательного числа b называют арифметическим корнем степени n из числа b.

корня степени n, (n ≥ 2) из числа а?
a

≥0.

4. Сколько существует арифметических корней степени n, (n ≥ 2) из данного числа?.

Не более одного.

произведения неотрицательных чисел?
Рaвен произведению корней степени n, из
этих чисел.
6.

Чему равен корень степени n, (n ≥ 2) из
частного положительных чисел?

Рaвен частному корней степени n, из
этих чисел.

а ≥ b.
Нет
3) Для каких значений а и b

утверждения 1) и 2) будут верными?

Для неотрицательных

М. К. Потапов,
Н.Н. Решетников, А. В. Шевкин.