Арифметический квадратный корень. Свойства квадратного корня

№1 Сычев Алексей.
Руководитель: Илющихина М.И.

неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Знак √ называется знаком арифметического квадратного корня; а называется

подкоренным выражением. Выражение √ а читается так: «Арифметический квадратный корень из числа а».
В случаях, когда ясно, что речь идет об арифметическом корне, говорят: «Корень квадратный из а». Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня.
Возводить в квадрат можно любые числа, но извлекать квадратный корень можно не из любого числа. Например, нельзя извлечь квадратный корень из числа -4, так как нет такого числа, квадрат которого равен -4.

0. Определение квадратного корня можно кратко записать так:

√ а≥ 0, ( √ а ) = а
Равенство ( √ а ) = а справедливо при а ≥ 0.

при а=3 и а=-3. По определению квадратного корня

√3 =3. При а=-3 находим √(-3) = √3 =3. Так как число 3 является противоположным числу -3, то можно записать:
√(-3) = -(-3) или √ (-3)= |-3|.
Теорема 1: для любого числа а справедливо равенство √а  = |а| .
Рассмотрим два случая: а≥0 и a<0.
1)Если а≥0, то по определению арифметического корня
√ а =а.
2)Если а<0, то (-а) >0 и поэтому
√ а = √ (-а) = -а.
Таким образом,

= |а| выполняется при любых значениях входящих в него букв,

говорят, что это равенство выполняется тождественно.
Равенства, справедливые при любых значениях входящих в них букв, называют тождествами.

допустить, что √a ≤√b, то, возведя обе части неравенства

в квадрат, получим a≤b, что противоречит условию a>b.

√b
т.е. корень

из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.
Для того чтобы доказать, что a b есть арифметический квадратный корень из ab, надо доказать, что:
1)√a∙√b≥0 2)(√a∙√b)=ab.
по определению квадратного корня √ a≥0, √b≥0,поэтому √a∙√b≥0. По свойству степени произведения и определению квадратного корня
(√a∙√ b ) = (√a )∙(√b ) =ab.

Теорема. Если а ≥0, b>0,то

т.е. корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.

.

В некоторых задачах полезно избавиться от иррациональных выражений в знаменателе дроби.

теореме при делении корней можно
разделить подкоренные выражения и из

результата извлечь корень:

По свойству возведения дроби в степень
и определению квадратного корня получаем: