Экономические задачи № 17 в заданиях ЕГЭ по математике.

Задачи с аннуитетными платежами;

2. Задачи с дифференцированными
платежами;

равными платежами.
Дифференцированные платёж
Каждый платёж выплачиваются разные суммы. Каждый

раз клиент платит набежавшие проценты за 1 период и 1/n часть основного долга, где n – период, на который взят кредит (количество месяцев, лет). При такой схеме платежа наибольший платёж – первый, наименьший – последний.

задачи.

Ключевая фраза при аннуитетной схеме платежа: долг выплачен равными платежами.

Ключевая фраза при дифференцированном платеже: в таком-то месяце долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга предыдущего периода.
В задачах с заданной схемой платежа даётся таблица, согласно которой происходят выплаты.
 

начисления платежей, приведем графики погашения кредита в размере
1 000

000 руб., взятого на 20 лет при 12% годовых (серым выделена выплата процентов по кредиту, синим — выплата долга кредита)

— тем меньше начислили процентов. Сумма и срок досрочного погашения

ничем не ограничены. Досрочное погашение в аннуитетной схеме лишь сокращает срок выплаты кредита: на графике
«срезаются» последние платежи и отпадает необходимость платить соответствующие им проценты,
которые в конце графика как раз очень малы.
Таким образом, в аннуитетной схеме досрочное
погашение невыгодно.

Условия возврата таковы: — в январе каждого года долг увеличивается на

30% по сравнению с предыдущим годом; — с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом. Определите, на какую сумму взяли кредита в банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы взятого кредита.

Пример № 1

Условия возврата таковы: — в январе каждого года долг увеличивается на

30% по сравнению с предыдущим годом; — с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом. Определите, на какую сумму взяли кредита в банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы взятого кредита.

Пусть в кредит планируется взять S рублей, а ежегодный платеж по кредиту будет составлять x рублей. Тогда каждый год долг увеличивается на 30% или в 1.3  раза и уменьшается на x млн рублей.
После первой выплаты останется: 1,3 S- x
После второй выплаты останется:1,3 (1,3 S- x)- x=1,69S-0.3 x
После 3-й выплаты остаток равен 0, т.к по условию кредит был погашен за 3 года.:
1,3 (1,69S-0.3 x)-х=0
х=2,197S/ 3.99
По условию общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы взятого кредита, а значит:
 3х= S+78030
3*2,197S/ 3.99= S+78030
(3*2,197S/ 3.99-1)S=78030 S=(78030*1,33):0,867=119700
Ответ: S=119 700 рублей.

сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет).

Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей? Ответ: 80,5(млн. рублей).

19 месяцев.
Условия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг

возрастет на q% по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% суммы, взятой в кредит. Найдите q.

Ответ: q=3 %

месяца. Ус­ловия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг возрастает

на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за последние 12 месяцев нужно выплатить банку 1597,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Ответ: х = 3000

февраля долг вырос на 1% и составил 1,01х руб.
Со 2-го

по 14-е февраля нужно выплатить долг “на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца” х/24 + 0,01х руб.
После чего сумма долга на конец февраля составит
1,01х – х/24 – 0,01х = 23х/24 руб.
В марте с учетом процентной ставки долг равен 23х/24 · 1,01х руб. К оплате со 2-го по 14-е марта сумма долга такова х/24 + 23х/24 · 1,01 руб.
После чего сумма долга после 15 марта составит
23х/24 – (х/24 + 23х/24 · 1,01) = 22х/24 руб.
И так далее …

№4

15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Ус­ловия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за последние 12 месяцев нужно выплатить банку 1597,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Ус­ловия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг возрастает на

1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за последние 12 месяцев нужно выплатить банку 1597,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

х
Составим таблицу в общем виде.