ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПИРАМИДА И ЕЁ ПРОЕКЦИЯ

Учитель: Волкова Лидия Николаевна
2009г.
Город Алматы

Эльвира,
Ускенбаева Мадия.

Пирамида.
Слово «пирамида» в геометрию

ввели греки,
которые, как полагают, заимствовали его
у египтян, создавших самые знаменитые
пирамиды в мире. Другая теория выводит
этот термин из греческого слова «пирос»
(рожь) – считают, что греки выпекали хлебцы,
имевшие форму пирамиды.

треугольники, имеющие общую вершину.
Что же такое пирамида?

многоугольника, который лежит в основании.

n – угольник A1A2…An, а остальные грани – треугольники с

общей вершиной.
Этот n – угольник A1A2…An называется основанием пирамиды.
Треугольные грани называются боковыми гранями.
Общая вершина всех боковых граней называется вершиной пирамиды.
Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания называются боковыми рёбрами.
Объединение боковых граней пирамиды называется её боковой поверхностью.
Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.

ABCD – основание
S – вершина
SO – высота

отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.
Высота

боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой этой пирамиды . Все апофемы равны друг другу.
Если в основании пирамиды лежит n-угольник, то пирамида называется n-угольной.
Треугольная пирамида называется тетраэдром. Тетраэдр задается четырьмя вершинами; грани тетраэдра – четыре треугольника. Тетраэдр называется правильным, если все его рёбра равны.

грани – равные равнобедренные треугольники.
·     Все двугранные углы при основании

равны.
·     Все плоские углы при вершине равны.
·     Все плоские углы при основании равны

·     Апофемы боковых граней одинаковы по длине.
·     В любую правильную пирамиду можно вписать сферу.

граней.

Sполн=Sбок+Sосн

Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей её боковых граней.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:

Sбок.пов.=1/2 * (Pосн* m),
где m – апофема, Р – периметр основания

S – площадь основания, h – высота пирамиды.

Усечённая пирамида – это часть

пирамиды, лежащая между основанием и параллельным основанию сечением.


Усечённая пирамида является
частным случаем пирамиды.

Определение.

и многоугольник, полученный при пересечении её плоскостью (A1A2…An и B1B2…Bn).

Отрезки A1B1, A2B2, …, AnBn называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды.
Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усечённой пирамиды.
Боковые грани усечённой пирамиды – трапеции.

Усечённую пирамиду с основаниями A1A2…An и B1B2…Bn обозначают так: A1A2…AnB1B2…Bn.

Усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усечённой пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции.
Высоты этих трапеций называются апофемами.

A1

A2

A3

An

B1

B2

Bn

O

секущей плоскостью на пропорциональные отрезки.
2.    В сечении получается многоугольник, подобный

многоугольнику, лежащему в основании.
3.    Площади сечения и основания будут относится между собой, как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

S=(1/2)*m*(P+P1), где m – апофема,

P- периметр оснований, P1- периметр боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему:
Sбок=1/2*(Рв+Рн)* m, где m – апофема, Рв, Рн – периметр верхнего и нижнего оснований

Объём усечённой пирамиды:
V=(1/3)*h*(S1+√S1S2+S2), где S1, S2 – площади оснований.
Площадь боковой грани:
Sбок.гр.=1/2*m*(g+g1), гдеm – апофема, g, g1 – основания боковой грани.

собой треугольники.
В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями,

проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды.

∆SDB – диагональное сечение пирамиды SABCD.

точку Е є пл.(SCD).
1. Проведем прямую CD, CD ∩

g ≡ F,
F Є (SCD).

2. Проведем прямую FE, получим точки
пересечения с ребрами пирамиды:
SD ∩ FE ≡ H, SC ∩ FE ≡ G.

3. Построим прямую AD. AD ∩ g ≡ K, K Є (SAD).

4. Через точки K и H проведем прямую KH. KH ∩ SA ≡ L.

5. Построим прямую AВ, AВ ∩ g ≡ M, M Є (SAB).

6. Через точки M и L строим ML ∩ SB ≡ N.

7. Соединяем точки G, H, L, N. Сечение
GHLM построено.

Построение сечения.

точку Е є пл.(SCD).

1. Проведем прямую CD, CD ∩

g ≡ F,
F Є (SCD).

2. Проведем прямую FE, получим точки
пересечения с ребрами пирамиды:
SD ∩ FE ≡ H, SC ∩ FE ≡ G.

3. Построим прямую AD. AD ∩ g ≡ K, K Є (SAD).

4. Через точки K и H проведем прямую KH.
KH ∩ SA ≡ L.

5. Построим прямую AВ, AВ ∩ g ≡ M, M Є (SAB).

6. Через точки M и L строим ML ∩ SB ≡ N.

7. Соединяем точки G, H, L, N. Сечение
GHLM построено.

Построение сечения.