Геометрический смысл производной. Решение задач из ЕГЭ

Владимировна,
учитель математики МОУ «ЛСОШ №2»
г. Лихославль Тверской области

в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x)

Показать решение

№1

в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x)

Показать решение

№2

в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x)

Показать решение

№3

f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x)

Решение:
Касательная к графику y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней в точке с абсциссой, которая удовлетворяет условию f `(x0)=0. Значит следует искать точку пересечения данного графика производной с осью абсцисс. По рисунку х0=4.
Ответ: 4

Показать решение

№4

(-6;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции

Решение:
Прямая у=-8 параллельна оси абсцисс. Касательная к графику функции y=f (x) будет параллельна оси абсцисс в точках минимума и максимума функции. Таких точек на рисунке – 6.
Ответ: 6.

Показать решение

№5

определенной на интервале (-1;12). Найдите количество точек, в которых касательная

Решение:
Касательная к графику функции f(x) должна быть параллельна прямой у=2х-15, то есть угловой коэффициент касательной должен быть равен 2. (k=2) k=f `(x0). Следовательно, f `(x0)=2. Находим на графике производной точки, в которых значение функции (производной) равно 2. Таких точек на рисунке 3.
Ответ: 3.

Показать решение

№6

определенной на интервале (-9;8). Найдите количество точек, в которых касательная

Решение:
Касательная к графику функции f(x) должна быть параллельна прямой у=2х+5, то есть угловой коэффициент касательной должен быть равен 2. (k=2) k=f `(x0). Следовательно, f `(x0)=2. Находим на графике производной точки, в которых значение функции (производной) равно 2. Таких точек на рисунке 4.
Ответ: 4.

Показать решение

№7

определенной на интервале (-8;5). В какой точке отрезка [-3;2] f(x)

Решение:
На отрезке [-3;2] производная принимает только отрицательные значения. Значит, на этом отрезке функция f(x) – убывает. Следовательно, на левом конце отрезка (в точке -3) значение функции – наибольшее, а на правом конце отрезка (в точке 2) значение функции – наименьшее.
Ответ: -3.

Показать решение

№8

определенной на интервале (-2;9). В какой точке отрезка [1;5] f(x)

Решение:
На отрезке [1;5] производная принимает только положительные значения. Значит, на этом отрезке функция f(x) – возрастает. Следовательно, на левом конце отрезка (в точке 1) значение функции – наименьшее, а на правом конце отрезка (в точке 5) значение функции – наибольшее.
Ответ: 1.

Показать решение

№9

f(x), определенной на интервале
(-2;18). Найдите количество точек минимума функции

Решение:
В точках экстремума функции (минимума и максимума) производная равна нулю. Следовательно, нужно найти точки пересечения графика производной с осью абсцисс. Таких точек (попадающих на отрезок [0;15]) на рисунке – 3. В точке минимума производная меняет знак с «-» на «+». На рисунке это выполняется для двух точек.
Ответ: 2.

Показать решение

№10

f(x), определенной на интервале
(-3;11). Найдите промежутки убывания функции f(x).

Решение:
На промежутке убывания функции f(x), ее производная отрицательна. На рисунке есть два промежутка, на которых производная функции принимает отрицательные значения. Это отрезки [-2;2] и [6;10] . Длина первого отрезка=2-(-2)=4. Длина второго отрезка=10-6=4. Длины обоих отрезков одинаковы.
Ответ: 4.

Показать решение

№11

f(x), определенной на интервале
(-2;11). Найдите точку экстремума функции f(x)

Решение:
В точках экстремума функции (минимума и максимума) производная равна нулю. Следовательно, нужно найти точки пересечения графика производной с осью абсцисс. Такая точка (при этом принадлежащая отрезку [0;5]) на рисунке только одна. Это точка х= 3.
Ответ: 3.

Показать решение

№12