Кратные и Двойные интегралы

может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов.

Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.

кривую, уравнение которой f(x, y) = 0.

Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью Δ. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область Δ.
С геометрической точки зрения Δ - площадь фигуры, ограниченной контуром.

областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х

на расстояние , а по оси у – на . Вообще говоря, такой порядок разбиения необязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.

Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны
В каждой частичной области возьмем произвольную точку и составим интегральную сумму



где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области Δ.
Если бесконечно увеличивать количество частичных областей Δi, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка Si стремится к нулю.

стремлении к нулю шага разбиения области Δ интегральные суммы имеют

конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области Δ.


учетом того, что получаем:



В приведенной выше записи имеются два знака Σ, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.
Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек , то, считая все площади одинаковыми, получаем формулу:

существования двойного интеграла

Теорема. Если

функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области Δ, то двойной интеграл существует.

Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области Δ и

непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл существует.

интеграла.
1)
2)
3) Если

Δ = Δ1 + Δ2, то
4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.
5) Если f(x, y) ≥ 0 в области Δ, то
6) Если f1(x, y) ≤ f2(x, y), то

7)

интеграла
Теорема

Если функция f(x,

y) непрерывна в замкнутой области Δ, ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = ϕ(x), y = ψ(x), где ϕ и ψ - непрерывные функции и
ϕ ≤ ψ, тогда

функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области Δ, ограниченной линиями

y = c, y = d (c < d), x = Φ(y), x = Ψ(y) (Φ(y) ≤ Ψ(y)), то

вида , где переменная изменяется в пределах от a

до b, а переменная – от до
Положим
Тогда

;

; dy =

;

за постоянную, то


подставляя это выражение в записанное выше соотношение для

, получаем:

функций и
(Якоби Карл

Густав Якоб – (1804-1851) – немецкий математик)
Тогда


Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для принимает вид ( при первом интегрировании полагаем ), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:

известно, что

В этом случае Якобиан имеет вид:



Тогда

Здесь τ - новая область значений,