Методы решения квадратных и дробно-рациональных уравнений

Выполнили:
Аббасов Руслан
Землянский Руслан
Голубцов Артур

решения
Теорема Виета
Проверка знаний
Решение дробно рациональных уравнений
Выдающаяся личность Виет

земных светил. Тебя царицей величавой Недаром Гаусс окрестил. Строга, логична, величава, Стройна в полете,

как стрела, Твоя немеркнущая слава В веках бессмертье обрела. Мы славим разум человека, Дела его волшебных рук, Надежду нынешнего века, Царицу всех земных наук. Поведать мы сегодня вам хотим Историю возникновения Того, что каждый школьник должен знать – Историю квадратных уравнений.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени

еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

истории
Правило решения этих уравнений, изложенное

в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений. 

где a, b, c, d – заданные числа, x

– переменная. Числа a, b, c носят следующие названия: a - первый коэффициент, b второй коэффициент, с - свободный член.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

где коэффициенты b и с отличны от нуля;

Неполные: ax2+bx=0, ax2+c=0

или ax2=0
т.е. хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю;

Приведенные: x2+bx+c=0,
т.е. уравнение, первый коэффициент которого равен единице (а=1).

уравнений
Дискриминант
Решение неполных квадратных уравнений
Решение приведенного квадратного уравнения
Графический метод решения квадратных

уравнений
Решение биквадратных уравнений

корня

b равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным квадратным

уравнением.

Решение неполных квадратных уравнений

один корень x=0;
2.Если c=0, то уравнение ax2+bx=0

имеет два корня:


3.Если b=0, то уравнение ax2+c=0


при не имеет корней,

при имеет два корня

  

выделения полного квадрата
Пример.

x2+2x-3=0
x2+2x=3,
x2+2x+1=3+1
(x+1)2=4
x+1=2 или x+1=-2
x1=1, x2=-3

3. По теореме обратной теореме Виета
x2+bx+c=0
х1+х2=-b,
x1×x2=c.

графическим способом Квадратное уравнение разделяют на две функции, линейную и

квадратичную. А затем строят графики этих функций на одной координатной плоскости.

Квадратное уравнение

Разбивают на 2 части

ах^2+bx+c=0

y1 =ax^2

y2 =-(bx+c)

-

-

линия. Решением, корнями квадратного уравнения являются точки пересечения этих функций.
При

решении могут представиться три варианта:
Функции имеют две точки пересечения - два корня квадратного уравнения действительны и различны между собой.
Функции имеют одну точку пересечения - квадратное уравнение имеет только один действительный корень.
Функции не имеют ни одной точки пересечения - тогда оба корня квадратного уравнения мнимые, комплексные числа.

9x4+5x2-4=0
Обозначим x2=t. Тогда данное уравнение

примет вид
9t2+5t-4=0
Откуда t1=9/4, t2=-1.
Уравнение x2=4/9 имеет корни x1=2/3, x2=-2/3 ,
а уравнение x2=-1 не имеет действительных корней.

отличны от нуля, то находим дискриминант.


Если квадратное

уравнение является приведенным, то можем его решить с помощью теоремы Виета.

корни приведенного квадратного уравнения х2+рх+q=0, то х1+х2= - р, х1

. х2=q.

Если коэффициент при квадрате переменной равен 1, то уравнение называется приведенным.

корней не имеет

нуля, следовательно, квадратное уравнение не имеет корней

дроби сначала нужно избавиться от дроби.  Для этого находят наименьший

общий знаменатель, и обе части уравнения умножают на этот знаменатель. Далее полученное выражение упрощают, и получается обыкновенное линейное или квадратное уравнение.
Только нужно найти область допустимых значений выражения (ОДЗ). После того, как найдены корни уравнения, обязательно проверяем, входят ли они в ОДЗ.
Вспомним два правила решения уравнений:
1) Если обе части уравнения разделить или умножить на одно и то же число, корни уравнения не изменятся.
2) Слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

Франсуа Виет родился в 1540 году в городе Фонтене ле-Конт

провинции Пуату. Получив юридическое образование, он в 19 лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Он был широко образованным человеком. В 1571 году Виет переехал в Париж и там познакомился с математиком Пьером Рамусом. Благодаря своему таланту и, отчасти, благодаря браку своей бывшей ученицы с принцем де Роганом, Виет сделал блестящую карьеру и стал советником Генриха III, а после его смерти - Генриха IV. В последние годы жизни Виет занимал важные посты при дворе короля Франции. Умер он в Париже в самом начале семнадцатого столетия. Есть подозрения, что он был убит.