Слайд 1Определение чисел arcsina, arccosa,
arctga, arcctga
Автор
Календарева Н.Е.
© 2011
Слайд 2План
Теорема о корне монотонной функции
Возрастание синуса на отрезке [−π/2; π/2]
Определение
арксинуса числа
График синуса на отрезке [−π/2; π/2]
Примеры
Определение арккосинуса числа
Определение арктангенса
числа
Определение арккотангенса числа
Слайд 3 Теорема о корне
монотонной функции
Пусть функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке ,
а число а – любое из значений функции f из множества значений. Тогда уравнение f(x) = a имеет единственный корень в промежутке
.
Слайд 4Доказательство
Доказательство для возрастающей функции.
По условию число а – какое-либо
значение функции f, т.е. в промежутке существует такое
число b, что f(b) = a. Докажем единственность.
Слайд 5От противного. Допустим, на промежутке есть еще одно число с
≠ b, такое что
f(c) = a.
Но а =
f(b), т.е. f(c) = f(b). Так как с ≠ b, то для определенности пусть c > b. Но функция f возрастает на
, поэтому f(c) > f(b). Это противоречит равенству f(c) = f(b).
Слайд 6Следовательно, число b одно, т.е. на промежутке функция
f имеет единственный корень.
Теорема доказана.
Слайд 7Возрастание синуса
на отрезке [−π/2; π/2]
Функция синус на отрезке [−π/2;
π/2] возрастает. Докажем это.
Пусть х1, х2 (−π/2; π/2) и
х1 < x2. Надо показать, что sinx1 < sinx2.
Или разность sinx2 – sinx1 > 0.
sinx2 – sinx1=
Слайд 8Имеем неравенства
,
Сложим − π < х1 + х2 < π ,
Сл-но,
Рассмотрим два неравенства:
Слайд 9Сложим < х2 – х1 < .
Учтем, что
х1 < x2 , т.е. х2 – х1 > 0.
Получим
Следовательно, синус этого числа > 0.
Доказали, что синус возрастает на отрезке [−π/2; π/2] .
Слайд 10Определение
арксинуса числа
Функция синус принимает значения из
отрезка [− 1; 1].
Рассмотрим уравнение
sinx = a, где | a | ≤ 1.
По
теореме о корне уравнение sinx = a
имеет один корень b из отрезка [−π/2; π/2] такой, что sinb = a.
Это число b называется арксинусом
числа а. Обозначают arcsin a.
Слайд 11Арксинусом числа а из отрезка [− 1; 1]
называется такое
число из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен а.
на отрезке [−π/2; π/2]
sinb = a;
b = arcsin
a,
где а [− 1; 1],
b [−π/2; π/2].
Слайд 13Чему равен arcsin
следующих чисел?
arcsin0 =
Ответ: arcsin0 = 0.
2.
arcsin1 =
Ответ: arcsin1 = π/2.
3. arcsin(1/2) =
Ответ: arcsin(1/2) = π/6.
4. arcsin2
ТАК НЕЛЬЗЯ ПИСАТЬ!
Слайд 145. arcsin(−1) =
Ответ: arcsin(−1) = − π/2.
6. arcsin(−
1/2) =
Ответ: arcsin(− 1/2) = − π/6.
Слайд 15Определение
арккосинуса числа
Функция косинус убывает на отрезке [ 0; π].
(доказательство аналогично).
Рассмотрим
уравнение
cosx = a, где | a | ≤ 1.
По теореме
о корне это уравнение имеет один корень b из отрезка [ 0; π] такой, что
cosb = a.
Слайд 16 Это число называется арккосинусом
числа а. Обозначают arccos a.
Арккосинусом числа а из отрезка [− 1; 1]
называется такое
число из отрезка [ 0; π],
косинус которого равен а.
Слайд 17График косинуса
на отрезке [ 0; π]
cosb = a;
b = arccos
a,
где а [− 1; 1],
b [ 0; π].
Слайд 18Чему равен arccos
следующих чисел?
arccos0 =
Ответ: arccos0 = π/2.
2.
arccos1 =
Ответ: arccos1 = 0.
3. arccos(1/2) =
Ответ: arccos(1/2) = π/3.
4. arccos(3/2)
ТАК НЕЛЬЗЯ ПИСАТЬ!
Слайд 20Определение
арктангенса числа
Функция тангенс возрастает на интервале (−π/2; π/2). Ее множество
значений – это R.
Рассмотрим уравнение tgx = a, где а
– любое число.
На промежутке возрастания, т.е. на
интервале (−π/2; π/2) это уравнение имеет один корень b такой, что tgb = a.
Слайд 21График тангенса на (−π/2; π/2)
tgb = a;
a = arctgb,
где а
(−∞; +∞),
b (−π/2; π/2) .
Слайд 22Это число называется арктангенсом числа а и обозначают arctg a.
Арктангенсом числа а, где а – любое число,
называется такое число из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен а.
Слайд 23Определение
арккотангенса числа
Функция котангенс убывает на интервале (0; π). Ее множество
значений – это R.
Рассмотрим уравнение ctgx = a,
где а
– любое число.
На промежутке убывания, т.е. на
интервале ( 0; π) это уравнение имеет один корень b такой, что ctgb = a.
Слайд 24 Это число называется арккотангенсом числа а и обозначают arcctg
a.
Арккотангенсом числа а, где а – любое
число, называется такое число из интервала ( 0; π), котангенс которого равен а.
Слайд 25График котангенса
на ( 0; π)
ctgb = a;
a = arcctgb,
где
а (−∞; ∞),
b ( 0; π) .
Слайд 26Домашнее задание
Выучите определения арксинуса числа, арккосинуса числа, тангенса и котангенса
чисел (на оценку)
Надо понимать, что такое арксинус числа, как он
изображается на круге, на какой дуге и т.д.
![ПланТеорема о корне монотонной функцииВозрастание синуса на отрезке [−π/2; π/2]Определение арксинуса числаГрафик синуса на отрезке [−π/2; π/2]ПримерыОпределение](/img/thumbs/62b90a691e7e182a87933d446dca6d2b-800x.jpg "Определение чисел arcsina, arccosa,arctga, arcctga ПланТеорема о корне монотонной функцииВозрастание синуса на отрезке [−π/2; π/2]Определение арксинуса")
![Возрастание синуса на отрезке [−π/2; π/2] Функция синус на отрезке [−π/2; π/2] возрастает. Докажем это.Пусть х1, х2](/img/thumbs/d7e568e412a91bb912d68f323116037c-800x.jpg "Определение чисел arcsina, arccosa,arctga, arcctga Возрастание синуса на отрезке [−π/2; π/2] Функция синус на отрезке [−π/2;")
![Определение арксинуса числаФункция синус принимает значения изотрезка [− 1; 1]. Рассмотрим уравнениеsinx = a, где |](/img/thumbs/a55e30a953f31e137ca51a52f60342ab-800x.jpg "Определение чисел arcsina, arccosa,arctga, arcctga Определение арксинуса числаФункция синус принимает значения изотрезка [− 1; 1]. Рассмотрим")
![Арксинусом числа а из отрезка [− 1; 1] называется такое число из отрезка [−π/2; π/2], синус которого](/img/thumbs/5235e8d2b70f8f7160c134750fcd2621-800x.jpg "Определение чисел arcsina, arccosa,arctga, arcctga Арксинусом числа а из отрезка [− 1; 1] называется такое число")
![График синуса на отрезке [−π/2; π/2]sinb](/img/thumbs/2419b4852f91c5ecf7076c15aceddf10-800x.jpg "Определение чисел arcsina, arccosa,arctga, arcctga График синуса на отрезке [−π/2;")
![Определение арккосинуса числаФункция косинус убывает на отрезке [ 0; π].(доказательство аналогично).Рассмотрим уравнениеcosx = a, где | a](/img/thumbs/815510a30293b7b47c2a29fe433550ee-800x.jpg "Определение чисел arcsina, arccosa,arctga, arcctga Определение арккосинуса числаФункция косинус убывает на отрезке [ 0; π].(доказательство аналогично).Рассмотрим")
![График косинуса на отрезке [ 0; π]cosb = a;b = arccos a,где а [− 1; 1],b](/img/thumbs/071299462898c1c14828f7e027dc0705-800x.jpg "Определение чисел arcsina, arccosa,arctga, arcctga График косинуса на отрезке [ 0; π]cosb = a;b = arccos")
