Параллельность прямых и плоскостей

по теме «Параллельность прямых и

плоскостей в пространстве.

точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

А
К

D

B

С

имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через

эту точку.

С

с

точку, то через них можно провести плоскость, и притом только

одну.

a

b

С

плоскость, и притом только одну.

М
Следствия из аксиом
Т1

плоскости

А
В
Следствия из аксиом

плоскость, и притом только одну.

М
А
В
Следствия из аксиом

к
Следствие из Т1

По прямой и не принадлежащей ей точке.
3. По двум пересекающимся

прямым.

4. По двум параллельным прямым.

элементы?

а)
б)
в)
г)
д)
е)
Ответьте на вопросы

•
•
•
Доказательство:
А, В  АВ, С,D  СD,
АВ

 СD
(по определению параллелограмма) 

АВ, СD  α 

D  α

в пространстве.

в планиметрии
2 случай. а, в  α; а,

с  β

1. Возьмем т.В, В  в

Через т.В и с проведем плоскость 

  α = в1

2. Если в1  β = Х,  Х  а, в1  α,
но Х  с, т.к. в1   , а т.к. а с  в1  β

3. в1  α, в1  а  в1  а  в1 = в (А параллельных прямых)

4.  в с

Теорема доказана.

•

Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны

 b, b  a
Доказательство:
1.Проведем через прямую a и точку

К плоскость α.

2.Проведем через т. К α прямую b, b a.(А планиметрии)

Единственность (от противного)

1.Пусть  b1: К  b1 , b1 a .Через прямые a и b1 можно провести плоскость α1.
2. a , К  α1;  α1 и α (Т о точке и прямой в пространстве).
3.  b = b1 (А параллельных прямых). Теорема доказана.

через три точки, при этом они

на одной прямой.
2) Если точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.
3) Две различные плоскости могут иметь только одну общую
4) Прямые являются в пространстве, если они не пересекаются и в одной плоскости.
5) Если прямая a лежит в плоскости α, прямая b не лежит в плоскости α, но пересекает ее в точке
В

α, то прямые а и b

не лежат

две

прямую

параллельными

лежат

скрещивающиеся

= ВС
 С1– середина А1В
(по т.Фалеса) 
С

С1- средняя линия ∆АА1В 

С С1= 0,5АА1 = 11 см

Ответ: 11см.

в этой плоскости , то
она параллельна и самой плоскости.
Дано:
Доказать:

,

,

α

2. α  β = b

Если a  β = Х, то Х  b, это невозможно, т.к. α  b

 a  β

 a  β

Теорема доказана.

в
Доказать: а  в

Доказательство:
а, в  β
Пусть в ∩

а, тогда а ∩ α,
что противоречит условию.
Значит в  а

Задание 2

α

β

а

в

E - середины отрезков АВ и BC соответственно. Докажите, что

DE  α

Доказательство:

1. Точки D и E - середины отрезков АВ и BC соответственно 

2. DE – средняя линия (по определению) 
DE АС (по свойству)

 DE  α ( по признаку параллельности прямой и плоскости)

 β

параллельны двум
пересекающимся прямым другой плоскости, то эти
плоскости

параллельны.

Дано: а b = M, a , b .
a₁ b₁, a₁ , b₁ . a  a₁, b  b₁.

Доказать:  





а

а₁

b

b₁

M

c

Доказательство:

Тогда а  , а  ,    = с, значит а  с.
2. b  , b  ,    = с, значит b  с.
3. Имеем, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, чего быть на может.
Значит    .

1. Пусть    = с.

причём единственную.
β
а1
•
А
α
плоскость α,
в1
в
а
Доказать:
Доказательство.
Дано:
точка А вне плоскости α.
существует плоскость β║α,

проходящая через точку А

1. В плоскости α проведём прямые а∩в.

Через точку А проведём

а1║а

и в1║в.

По признаку параллельности плоскостей прямые а1 и в1 задают плоскость β║α.

Существование плоскости β доказано.

плоскость β1, которая проходит через т. А и β1 

α.

Отметим в плоскости β1 т. С β.

Отметим произвольную т. В  α.

Через точки А, В и С проведем γ.

γ ∩ α = в,

γ ∩ β1 = с.

γ ∩ β = а,

а

а и с не пересекают плоскость α,

значит они не пересекают прямую в,

 а  в и с  в

Получили, что через т. А проходят две прямые, параллельные прямой в, чего быть не может.

 наше предположение ложное.

Единственность β доказана.

параллельны.
Свойство параллельных плоскостей.
Дано:
α  β, α  

= a
β   = b

Доказать: a  b

Доказательство:

1. a  , b  

2. Пусть a  b,

тогда a  b = М

3. M  α, M  β

 α  β = с (А2)

Получили противоречие с условием.

Значит a  b ч. т.д.

плоскостями, равны.
Свойство параллельных плоскостей.
Доказать: АВ

= СD

Дано:
α  β, АВ СD
АВ  α = А, АВ  β = В,
СD  α = С, СD  β = D

Доказательство:

1. Через АВ СD проведем 

2. α β, α   = a, β   = b

3.  АС В D,

4. АВ СD (как отрезки парал. прямых)

5.  АВСД – параллелограмм (по опр.)

 АВ = СD ( по свойству параллелограмма)

если прямая лежащая в
одной плоскости, параллельна другой

плоскости?
3. если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым другой плоскости,
то эти плоскости параллельны?
4. если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она
перпендикулярна и другой плоскости.
5. прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны.
6. Если прямая пересекает одну из двух плоскостей, то
она пересекает и другую.
7. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны.
8. Отрезки прямых, заключенные между
параллельными плоскостями, равны.

Определите: верно, ли утверждение?

ДА

НЕТ

ДА

НЕТ

ДА

НЕТ

НЕТ

ДА

α, не проходящей через точку.
α
β
А
Решение.
1. В плоскости α

возьмем т. В.

2. Проведем прямые ВС и ВD.

В

•

С1

D1

D

С

3. Построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую ВD, в ней проведем прямую АD1 ВD.

4. Аналогично построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую ВС, в ней проведем прямую АС1 ВС.

•

5. Через прямые АD1 и АС1 проведем плоскость β

можно провести плоскость так, чтобы эти плоскости были параллельны.
а
в
Пусть а

скрещивается с в.

Доказательство:

На прямой в возьмем т. А,

А

через прямую а и т. А проведем плоскость,

в этой плоскости через т. А проведем прямую в1 , в1  в.

Через в1  в проведем плоскость α.

.

в1

Аналогично строим плоскость β.

По признаку параллельности плоскостей α  β.

.

«Павловская сош»
с.Павловск
Алтайский край
Название сайта: http://www.nsportal.ru/shkola/informatika-i-ikt/library/shablon-matematicheskii-dlya-oformleniya-prezentatsii-mspowerpoint