Перпендикуляр и наклонная

точки на данную плоскость параллельно данной прямой.
На этом уроке вы

продолжите изучение прямых и плоскостей; узнаете, как находится угол между прямой и плоскостью. Вы познакомитесь с понятием ортогональной проекции на плоскость и рассмотрите ее свойства. На уроке будут даны определения расстояния от точки до плоскости и от точки до прямой, угла между прямой и плоскостью. Будет доказана знаменитая теорема о трех перпендикулярах.

на эту плоскость параллельно прямой, перпендикулярной этой плоскости. Ортогональная проекция

фигуры на данную плоскость p состоит из ортогональных проекций на плоскость p всех точек этой фигуры.
Ортогональная проекция часто используется для изображения пространственных тел на плоскости, особенно в технических чертежах. Она дает более реалистическое изображение, чем произвольная параллельная проекция, особенно круглых тел.

Ортогональная проекция

Ортогональная проекция
точки и фигуры.

Ортогональная проекция
детали.

перпендикулярная этой плоскости и пересекающая ее в точке В. Тогда

отрезок АВ называется перпендикуляром, опущенным из точки А на эту плоскость, а сама точка В — основанием этого перпендикуляра. Любой отрезок АС, где С — произвольная точка плоскости p, отличная от В, называется наклонной к этой плоскости.
Заметим, что точка В в этом определении является ортогональной проекцией точки А, а отрезок АС — ортогональной проекцией наклонной AВ. Ортогональные проекции обладают всеми свойствами обычных параллельных проекций, но имеют и ряд новых свойств.

Перпендикуляр и наклонная

Перпендикуляр и наклонная.

перпендикуляр и несколько наклонных. Тогда справедливы следующие утверждения.
1.

Любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и ортогональной проекции наклонной на эту плоскость.
2. Равные наклонные имеют и равные ортогональные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие равные проекции, также равны.
3. Одна наклонная длиннее другой тогда и только тогда, когда ортогональная проекция первой наклонной длиннее ортогональной проекции второй наклонной.

проведены перпендикуляр АВ и две наклонные АС и AD; тогда

отрезки ВС и BD — ортогональные проекции этих отрезков на плоскость p.
Докажем первое утверждение: любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и ортогональной проекции наклонной на эту плоскость. Рассмотрим, например, наклонную AС и треугольник ABC, образованный перпендикуляром AВ, этой наклонной AС, и ее ортогональной проекцией ВС. Этот треугольник прямоугольный с прямым углом в вершине В и гипотенузой AС, которая, как мы знаем из планиметрии, длиннее каждого из катетов, т.е. и перпендикуляра AВ, и проекции ВС.

Из точки А к плоскости pi проведены перпендикуляр АВ и две наклонные AC и AD.

наклонные имеют и равные ортогональные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие

равные проекции, также равны.
Рассмотрим прямоугольные треугольники AВС и ABD. Они имеют общий катет AВ. Если наклонные AС и AD равны, то прямоугольные треугольники AВС и AВD равны по катету и гипотенузе, и тогда BC=BD. Обратно, если равны проекции ВС и BD, то эти же треугольники равны по двум катетам, и тогда у них равны и гипотенузы AС и AD.

Треугольники ABC и ABD равны по катету и гипотенузе.

тогда и только тогда, когда ортогональная проекция первой наклонной длиннее

ортогональной проекции второй наклонной. Пусть, например, ВС > BD. Отложим на отрезке ВС точку Е такую, что BD=BE. Тогда и AD=AE. В треугольнике АСЕ угол AEC тупой и поэтому больше угла ACE, следовательно, сторона АС больше стороны АЕ, равной AD.
Обратно, пусть АС > AD. Возможны три случая: a) BC=BD; б) ВС < BD; с) ВС > BD. Если BC=BD, то по доказанному выше в пункте 2, AC=AD, что противоречит условию. Если ВС < BD, как мы только что доказали, АС < AD, что опять противоречит условию. Остается третья возможность: ВС > BD. Теорема доказана.

Если ВС больше BD, то АС больше стороны АЕ, равной AD.

(не проходящей через эту точку) называется длина перпендикуляра, опущенного из

точки на эту плоскость. Из теоремы о свойствах ортогональной проекции следует, что расстояние от точки А до плоскости pi равно наименьшему расстоянию от точки А до точек этой плоскости.

расстоянии от разных точек до плоскости). Пусть две точки А

и В не принадлежат плоскости pi, а прямая АВ пересекает плоскость pi в точке С. Тогда расстояния от точек А и В до плоскости pi относятся как отрезки АС и ВС:

находятся по одну сторону от плоскости pi. Рассмотрим ортогональные проекции

точек А и В на плоскость — точки А1 и B1 соответственно. Тогда прямая A1B1 является ортогональной проекцией прямой AВ и проходит через точку С. В плоскости , проходящей через прямые AВ и А1В1, прямоугольные треугольники AA1С и BB1C подобны, и поэтому их катеты пропорциональны гипотенузам:

Прямоугольные треугольники AA1C и ВВ1С подобны.

Случай 2, когда точки А и В расположены по разную сторону от плоскости, разберите самостоятельно. Замечание 1 доказано.

от точек А и B до плоскости pi равны а

и b соответственно. Тогда расстояние от середины С отрезка АВ до этой плоскости равно:

Свойство расстояния от середины отрезка
до плоскости

Tочки A и B расположены по одну сторону от если точки А и B расположены по одну сторону от плоскости pi

если точки A и B расположены по одну сторону от плоскости pi;

если точки A и B расположены по одну сторону от если точки А и B расположены по разные стороны от
плоскости pi

когда она перпендикулярна ее ортогональной проекции.
Доказательство.
Пусть даны плоскость pi, перпендикуляр

АВ на эту плоскость, наклонная АС, и прямая m в плоскости pi. Нам надо доказать два взаимно обратных утверждения. Первое утверждение: если прямая m перпендикулярна наклонной АС, то она перпендикулярна и ее ортогональной проекции ВС. И обратно: если прямая m перпендикулярна ортогональной проекции ВС,
то она перпендикулярна и наклонной АС.

Перпендикуляр АВ к плоскость pi, наклонная АС и прямая т в плоскости pi.

Теорема о трех перпендикулярах

плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на

эту плоскость. Если прямая параллельна плоскости, то угол между ней и плоскостью считается равным нулю. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ней и плоскостью прямой, т. е. равен 90°.

Угол между наклонной и плоскостью

Угол между наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость.