Площади фигур

трапеции.
ТЕСТ.
Список литературы.

площадь.
Эта площадь – единственная.
Площадь любой геометрической фигуры выражается

положительным числом.
Площадь квадрата со стороной,равной единице,равна единице.
Площадь фигуры равна сумме площадей частей,на которые она разбивается.
Равные многоугольники имеют равные площади.

а). Докажем, что S=ab.
Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a+b,

( рис. б). По свойству «Площадь квадрата равна квадрату его стороны» площадь этого квадрата равна (a+b)2.
С другой стороны этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (равные многоугольники имеют равные площади) и двух квадратов с площадями a2 и b2. По свойству «Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников» имеем:
(a+b)2=S+S+a2+b2, или a2+2ab+b2=2S+a2+b2.
Отсюда получаем: S=ab

а

b

а)

b

b

b

b

а

а

а

а

а

2

b

S

S

S

б)

2

основание и проведем высоту BH и CK. Докажем, что S=AD*BH.
Докажем

сначала, что площадь прямоугольника HBCK также равна S. Трапеция ABCK составлена из параллелограмма ABCK и треугольника DCK. С другой стороны, она составлена из прямоугольника HBCK и треугольника ABH. Но прямоугольные треугольники DCK и ABH равны по гипотенузе и острому углы ( их гипотенузы AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AD), поэтому их площади равны.
Следовательно, площади параллелограмма ABCD и прямоугольник HBCK также равны, т. е площадь прямоугольника HBSK равна S. По теореме о площади прямоугольника S=BC*BH, а так как BC=AD, то S=AD*BH.

C

B

K

A

H

D

1

2

треугольника и проведем высоту CH. Докажем, что

S=0,5*AB*CH.
Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD. Треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (BC- общая сторона, AB=CD и AC=BD как противоположные стороны параллелограммаABCD), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABCD, т.е. S=0,5*AB*CH.

C

B

A

H

D

между ними.
C
B
A (b cos C; b sin C)
с
а
h
S=0.5a b sinC

b

площадь этого треугольника.
Докажем, что S=0,5absinC.
Введем систему координат с

началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S=0,5ah, где h – высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т. е. h=bsinC.
Следовательно, S=0,5absinC.

C

A (b cos C; b sin C)

а

b

B

c

h

BH и площадью S. Докажем, что

S=0,5*(AD+BC)*BH.
Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S=SABD+SBCD. Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH1 за основание и высоту треугольника BCD. Тогда
SABD=0,5*AD*BH, SBCD=0,5*BS*DH1.
Так как DH1=BH, то SBCD=0,5*BC*BH.
Таким образом,
S=0,5*AD*BH+0,5*BC*BH=0,5*(AD+BC)*BH.

C

B

A

H

D

H

1

В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.- 14-е изд. – М.:

Просвещение, 2004.- 384 с.: ил..