"Площади геометрическиx фигур"

треугольника.
Площадь трапеции.
ТЕСТ.
Список литературы.

имеет площадь.
Эта площадь – единственная.
Площадь любой геометрической фигуры

выражается положительным числом.
Площадь квадрата со стороной,равной единице,равна единице.
Площадь фигуры равна сумме площадей частей,на которые она разбивается.
Равные многоугольники имеют равные площади.

а
а
S=a
2

а
S=ab
b
b

рис. а). Докажем, что S=ab.
Достроим прямоугольник до квадрата со стороной

a+b, ( рис. б). По свойству «Площадь квадрата равна квадрату его стороны» площадь этого квадрата равна (a+b)2.
С другой стороны этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (равные многоугольники имеют равные площади) и двух квадратов с площадями a2 и b2. По свойству «Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников» имеем:
(a+b)2=S+S+a2+b2, или a2+2ab+b2=2S+a2+b2.
Отсюда получаем: S=ab

а

b

а)

b

b

b

b

а

а

а

а

а

2

b

S

S

S

б)

2

а
а
h
h
S=ah
b
b

за основание и проведем высоту BH и CK. Докажем, что

S=AD*BH.
Докажем сначала, что площадь прямоугольника HBCK также равна S. Трапеция ABCK составлена из параллелограмма ABCK и треугольника DCK. С другой стороны, она составлена из прямоугольника HBCK и треугольника ABH. Но прямоугольные треугольники DCK и ABH равны по гипотенузе и острому углы ( их гипотенузы AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AD), поэтому их площади равны.
Следовательно, площади параллелограмма ABCD и прямоугольник HBCK также равны, т. е площадь прямоугольника HBSK равна S. По теореме о площади прямоугольника S=BC*BH, а так как BC=AD, то S=AD*BH.

C

B

K

A

H

D

1

2

высоту.

а
с
h
S=0,5ah
b

основание треугольника и проведем высоту CH. Докажем, что

S=0,5*AB*CH.
Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD. Треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (BC- общая сторона, AB=CD и AC=BD как противоположные стороны параллелограммаABCD), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABCD, т.е. S=0,5*AB*CH.

C

B

A

H

D

на синус угла между ними.

C
B
A (b cos

C; b sin C)

с

а

h

S=0.5a b sinC

b

– площадь этого треугольника.
Докажем, что S=0,5absinC.
Введем систему координат

с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S=0,5ah, где h – высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т. е. h=bsinC.
Следовательно, S=0,5absinC.

C

A (b cos C; b sin C)

а

b

B

c

h

высоту.

h
а
с
d
S=0.5(a+c)h
b

высотой BH и площадью S. Докажем, что

S=0,5*(AD+BC)*BH.
Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S=SABD+SBCD. Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH1 за основание и высоту треугольника BCD. Тогда
SABD=0,5*AD*BH, SBCD=0,5*BS*DH1.
Так как DH1=BH, то SBCD=0,5*BC*BH.
Таким образом,
S=0,5*AD*BH+0,5*BC*BH=0,5*(AD+BC)*BH.

C

B

A

H

D

H

1

476
d) 519

24

b) 240
c) 180
d) 160

d) 160
15
12

c) 48
d) 64
B
A
C
D

b) 60
c) 30
d) 32

13
d) 18

A
B
C
15
30
0
60см

2

B
C
D

а) 100
b) 50
c) 150
d)

40

21
d) 25

10
30
0

Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.- 14-е изд. –

М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил..