Разделы презентаций


Полезные теоремы Чевы и Менелая презентация, доклад

Содержание

Теорема Менелая.Пусть дан треугольник ABC и точки    на, соответственно, прямых AB, AC и BC. Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Полезные теоремы, не входящие в курс школьной геометрии.
Теорема Менелая.
Теорема Чевы.

Полезные теоремы, не входящие в курс школьной геометрии.Теорема Менелая.Теорема Чевы.

Слайд 2Теорема Менелая.
Пусть дан треугольник ABC и точки    на, соответственно,

прямых AB, AC и BC. Точки лежат на одной прямой

тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Теорема Менелая.Пусть дан треугольник ABC и точки    на, соответственно, прямых AB, AC и BC. Точки лежат

Слайд 3Доказательство:
Необходимость. Пусть прямая l пересекает прямые AB, BC, AC соответственно в точках

C1, A1 и B1 (см. рис.). Проведем произвольную прямую P, пересекающую

прямую l в точке N, а через точки A, B и C соответственно прямые a, b и c, параллельные прямой l и пересекающие p в точках K, L, M. По теореме о пропорциональных отрезках:

Доказательство:Необходимость. Пусть прямая l пересекает прямые AB, BC, AC соответственно в точках C1, A1 и B1 (см. рис.). Проведем произвольную

Слайд 4Перемножая равенства и учитывая, что
получаем искомое равенство.

Перемножая равенства и учитывая, что получаем искомое равенство.

Слайд 5Достаточность.
Пусть дан треугольник ABC, точки
 
 
и пусть выполнено

необходимое условие. Докажем, что точки A1, B1 и C1 лежат на

одной прямой. Проведем прямую через заданные две точки A1 и B1. Эта прямая пересекает прямую AB в некоторой точке C'.


 

 


Достаточность. Пусть дан треугольник ABC, точки    и пусть выполнено необходимое условие. Докажем, что точки A1, B1 и

Слайд 6Действительно, если доказать противное, а именно, что прямая A1B1'║(AB), то

из подобия треугольников CA1B1 и CBA следует, что
С учетом

необходимого условия получим, что

Но такой точки не может существовать, и мы пришли к противоречию.

Действительно, если доказать противное, а именно, что прямая A1B1'║(AB), то из подобия треугольников CA1B1 и CBA следует,

Слайд 7По условию имеем:
с другой стороны, в силу необходимого условия

справедливо равенство
Откуда получаем
и приходим к выводу, как и

в случае доказательства обобщенной теоремы Чевы, что точки C1 и C' совпадают.
По условию имеем: с другой стороны, в силу необходимого условия справедливо равенство Откуда получаем и приходим к

Слайд 8Теорема Чевы
Пусть на сторонах треугольника ABC выбраны точки
 Отрезки



 и
 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

выполняется равенство:

Теорема Чевы Пусть на сторонах треугольника ABC выбраны точки  Отрезки ,  и  пересекаются в одной точке тогда и

Слайд 9Доказательство:








Доказательство:

Слайд 10
Обобщенная теорема Чевы. Пусть прямые a, b, c проходят через

вершины A, B, C треугольника ABC и пересекает прямые BC,

CA, AB в точках

соответственно (см. рис.). Тогда прямые a, b, c пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда имеет место равенство

Обобщенная теорема Чевы. Пусть прямые a, b, c проходят через вершины A, B, C треугольника ABC и

Слайд 12Доказательство:
Для случая параллельных прямых (слева на рисунке ) из теоремы Фалеса

имеем соотношение


Доказательство:Для случая параллельных прямых (слева на рисунке ) из теоремы Фалеса имеем соотношение

Слайд 13Перемножая левые и правые части равенств, получаем искомое равенство.
Обратно,

пусть выполнено необходимое условие и при этом
Тогда, проведя через

вершину B прямую

найдем точку B' ее пересечения с прямой AC. Как и в случае доказательства первой теоремы, получим

Перемножая левые и правые части равенств, получаем искомое равенство. Обратно, пусть выполнено необходимое условие и при этом

Слайд 14Если λ > 0, то B' и B1 делят отрезок AC в

одном отношении и, следовательно, совпадают. Если λ 

и B1 лежат вне отрезка AC по одну сторону от точки A или С в зависимости от того, лежат ли точки A1 на отрезке BC или точка C1 на отрезке AB и снова следует из равенства с необходимостью совпадения точек B1 и B1. Для рассмотрения общего случая снова проведем через вершину B прямую a параллельную прямой AC (справа на рисунке ). Треугольник AC1C подобен треугольнику BC1M.
Если λ > 0, то B' и B1 делят отрезок AC в одном отношении и, следовательно, совпадают. Если λ 

Слайд 15Отсюда следует
из подобия треугольников AA1C и NA1B получаем
Наконец,

из гомотетичности относительно центра O треугольников ONM и OAC имеем


Отсюда следует из подобия треугольников AA1C и NA1B получаем Наконец, из гомотетичности относительно центра O треугольников ONM

Слайд 16Перемножая соответственно левые и правые части равенств, получаем искомое равенство.

Доказательство достаточности аналогично случаю основной теоремы.
Приведем некоторые следствия из

теоремы Чевы.
Перемножая соответственно левые и правые части равенств, получаем искомое равенство. Доказательство достаточности аналогично случаю основной теоремы. Приведем

Слайд 17Следствие 14.1.  Медианы треугольника пересекаются в одной точке. В этом случае




Следствие 14.1.  Медианы треугольника пересекаются в одной точке. В этом случае

Слайд 18Следствие 14.2. 
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство:

Действительно из свойства биссектрис

можно записать следующие равенства:

Следствие 14.2.  Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.Доказательство:Действительно из свойства биссектрис можно записать следующие равенства:

Слайд 19Следствие 14.3. 
Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанного в

него треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой

Жергона. Из свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности имеем: AB1 = AC1; BA1 = BC1 и CA1 = CB1. Отсюда следует равенство из теоремы Чевы и доказательство следствия 14.3.
Следствие 14.3.  Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанного в него треугольника, пересекаются в одной точке. Эта

Слайд 20Следствие 14.4.  Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство:
Рассмотрим 2 случая.


1. Пусть треугольник ABC остроугольный (рис. 14.1.3, a). Имеем
 
 
 
 

 
Отсюда

следует

Следствие доказано.

Следствие 14.4.  Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство:Рассмотрим 2 случая. 1. Пусть треугольник ABC остроугольный (рис. 14.1.3, a). Имеем

Слайд 22Пусть треугольник ABC тупоугольный (см. рис. ). Применим в этом случае

обобщенную теорему Чевы. Тогда аналогично случаю 1 можно записать такие

же соотношения с учетом знака. Имеем

 

 

 

 

 

Отсюда следует доказательство.

Пусть треугольник ABC тупоугольный (см. рис. ). Применим в этом случае обобщенную теорему Чевы. Тогда аналогично случаю 1

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика