Повторение геометрии при подготовке к итоговой аттестации

аттестации
ЦЕЛИ УРОКА:
обобщить и систематизировать полученные и приобретенные знания, умения,

АВТОРЫ:

Веприкова Римма Хабибулаевна (учитель математики)
Зайцева Вера Васильевна (учитель информатики)
МОУ – Гимназия № 2 г. Клин Московской области

AF=FC; CAD=ACB.
Найти: ADF; FD; BC.
Решение
A
C
D
F
B
3
2
1
2

то по признаку параллельности прямых BC||AD.
Дано: CBD=35; BF=2см; AD=3см; AF=FC;

2). Рассмотрим AFD=BFC по стороне и двум прилежащим углам (1.AF=FC; 2. CAD=ACB; 3.  AFD = BFC).

ВF=FD; FBC=ADF; BC=AD

BC=AD=3 (см); ВF=FD=2 (см); ADF=35.

Ответ: 35; 3 см; 2 см.

2

Задача 1

Задача 2

Задача 3

1

что AB||DF.
Доказательство
C
1
2

что AB||DF.
C
Доказательство
1). ABC – равнобедренный (по определению), так как AB=BC

2). CDF – равнобедренный по определению, так как CF=FD  DCF=CDF (по свойству).

3) ACB=DCF – вертикальные  BAC=CDF – накрест лежащие, то по признаку параллельности прямых  AB||FD, что и требовалось доказать.

2

1

окружность
т.A,B,C,D  (O;R)
AC ∩ BD= т.F
Записать: пропорциональные отрезки.
Решение
1
2

окружность
т.A,B,C,D  (O;R)
AC ∩ BD= т.F
Записать: пропорциональные отрезки.
Решение
1). ABD=ACD

2). BAC=CDB – вписанные, опирающиеся на одну и туже дугу BC.

3). AFB=CFD – вертикальные  стороны AF и DF; BF и CF; AB и CD – сходственные стороны  ABF  CDF 

2

1

две прямые, касающиеся окружности радиуса r в точках M и

Решение

A

M

N

O

B

1

2

и ON – радиусы окружности; по свойству радиуса, проведенного в

S(∆AMO)=½MBˑAO или S(∆AMO)=½MOˑAM
Из ∆AMO: по теореме Пифагора:

и Ответ:

2

1

AC=c; BD=3с/2. Найти площадь параллелограмма, если CAB=2ABD.
Решение
A
C
D
O
B
Задача 1
1
2

диагоналей параллелограмма ABCD. Для вычисления площади применим формулу S(ABCD)=½ACˑBDˑsin AOB;

По теореме синусов из ∆AOB:



Тогда, используя формулу sin3, получаем

sin AOB=sin3  =3sin  –4sin3=

Ответ:

Задача 2

Задача 1

A

C

D

O

B

3

2

1

a и b. Найти его третью сторону, если его угол,

Решение

A

C

B

a

b

Искомую сторону ∆ABC обозначим c, то есть AB=c

3

4

5

2

6

8

T

1

c, то есть AB=c
c
B=, тогда C=2. Проведем CD –

Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b.

3

4

5

6

1

8

T

2

c, то есть AB=c
Две стороны треугольника равны a и

c

B=, тогда C=2. Проведем CD – биссектрису C.



2

D





4

5

2

6

1

8

T

3

c, то есть AB=c
Две стороны треугольника равны a и

c

B=, тогда C=2. Проведем CD – биссектрису C.



2

D





Рассмотрим ∆CBD – равнобедренный, так как BCD=B= (углы при основании ∆ABD)  BD=CD.
Пусть BD = x, тогда AD=c – x, CD=x.

3

5

2

6

1

8

T

4

c, то есть AB=c
Две стороны треугольника равны a и

c

B=, тогда C=2. Проведем CD – биссектрису C.



2

D





Рассмотрим ∆CBD – равнобедренный, так как BCD=B= (углы при основании ∆ABD)  BD=CD.
Пусть BD – x, тогда AD=c – x, CD=x.

x

x

3

4

2

6

1

8

T

5

c, то есть AB=c
Две стороны треугольника равны a и

c

B=, тогда C=2. Проведем CD – биссектрису C.



2

D





Рассмотрим ∆CBD – равнобедренный, так как BCD=B= (углы при основании ∆ABD)  BD=CD.
Пусть BD – x, тогда AD=c – x, CD=x.

x

x

По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника

3

4

5

2

1

8

T

6

ABC.
Так как площади треугольников, имеющих общую вершину A, относятся

Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

D

Теорема о биссектрисе

с другой стороны, эти площади относятся как
длины сторон:

Из (1) и(2) следует, что Теорема доказана .

3

4

5

2

6

1

8

T

правые части (1) и (2) равенства, получим

2
D


x
x
По теореме о биссектрисе

С другой стороны, ACD=, a ADC=2 (как внешний угол CBD). Тогда три угла ∆ACD равны трем углам ∆ABC, следовательно, ∆ACD ̴ ∆ABC.

2

Ответ:

3

4

5

2

6

1

T

8

правильного треугольника ABC. Найти отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников

Решение

Задача 1

Задача 2

B

A

C

N

Обозначим сторону треугольника ABC через а, тогда AN=na.
Сторону BN найдем по теореме косинусов:

R1 – радиус окружности, описанной около ABN.
R2 – радиус окружности, описанной около ABC.

Применим формулу

1

2

3

и притом только одну.
Задача 1
Задача 2
Центр окружности, описанной около треугольника,

Радиус R окружности, описанной около треугольника, по его сторонам и полупериметру вычисляется по формуле:

Также радиус R окружности, описанной около треугольника, может быть вычислен по формулам:

где S – площадь треугольника,
hc – высота, проведенная из вершины С.

3

2

1

Если у треугольников равны высоты, то их площади относятся как

Подставляя выражения для площадей, получим:

Ответ:

2

1

3

окружность. Найти среднюю линию трапеции, если ее большее основание AD

Решение

M

A

D

B

C

N

15





1

2

равна

Для нахождения средней линии надо найти длину основания BC.
Используя свойства

Длина

Ответ: 12

2

1

(AB||CD) диагонали AC=a и BD=7/5a. Найти площадь трапеции, если CAB=2DBA.
Решение
A
D
B
C
О
1
2

CAB=2.
BE=CD; CE=BD; CEA=DBA= – соответственные при DB||CE и AE

Ответ:

Через вершину C проведем CE||DB до пересечения ее с продолжением основания AB в точке E.

2



h – высота ACE и трапеции ABCD.

Для ACE применим теорему синусов:

2

1