Применение элементов математического анализа при решении задач

– 2010-2011)

решения;
Цели урока
- Учиться переводить язык задачи на язык производной или

- Учиться выстраивать цепочку логических рассуждений при переходе от языка функции к языку геометрии или механики

плану: f’(x), f’(x0), k= f’(x0).
ЗАДАНИЕ 1
1а)Выполните анализ условия задачи и

Функция

f’(x)

x0

f’(x0)

f’(x0)=k=tgα

s’(t0)=v(t0)

f(x)=5x2+7x+2

2

1

3

2

1в) Сформулируйте задачу, обратную 1а) и составьте план её решения.
Найдите абсциссу точки касания, если тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) =5x2+7x+2 равен 27

Функция

f’(x)

x0

f’(x0)

f’(x0)=k=tgα

f(x)=5x2+7x+2

1

3

2

27

f’(x0) =27

Найдите угловой коэффициент касательной к графику первообразной функции F(x) функции f(x) = … в точке абсциссой …

Что известно по условию задачи?
Как задана функция?
Что еще известно?
Что нужно найти?
Как находят тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику заданной функции в заданной точке?

5x3+4x+1 проведена касательная к нему, параллельная прямой у = 4х

Обоснуйте следующий план решения задачи: к =4; f’(x); f’(x0) = 4; х0 из уравнения; ответ на вопрос задачи.

ЗАДАНИЕ 3

Ответьте на вопросы анализа условия задачи на физический смысл производной: точка движется по координатной прямой по закону s(t) = t3/3 – 2t2+3t -15 (s- расстояние в см, t – время в секундах, прошедшее с момента движения). Определите скорость и ускорение точки через 3 с после начала движения.

Закон движения

S(t)

t0

V(t0) = S’(t0)

a(t0) = v’ (t0)

Что известно из условия задачи?
Как задана функция?
Что ещё известно?
Что нужно найти?

Что известно по условию задачи?(функция)
Как задана функция?(формулой)
Что еще известно?(х0)
Что нужно найти?( к, tgα)
Как находят тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику заданной функции в заданной точке?

касательной

представлен график движения тела, и касательная к графику в момент

Решите задачу 2-м способом и сравните свои решения.

Вывод: ϑ(t) = k
По виду угла наклона касательной определим знак k.
Выделим «удобный» прямоугольный треугольник. Из него найдем тангенс острого угла ( Помним! tg(1800-α) = - tgα).
Найдем тангенс острого угла как отношение противолежащего катета к прилежащему.
Ответим на вопрос задачи.

производной. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику функции y

(-3;5)

График

2

tgα =1

tgα =1 ⇒ α = 450

?

1

Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику функции y =

Сравните условие рассмотренной задачи с условием следующей задачи:
Функция у = f(x) определена на промежутке (-5;5). На рис.изображен график ее производной. К графику функции у =f(x) провели касательные во всех точках, абсциссы которых –положительные целые числа. Укажите количество точек графика функции, в которых проведенные касательные имеют отрицательный угловой коэффициент.

график ее производной. К графику функции у =f(x) провели касательные

План решения.
1. Из D(f) =(-5;5) выбрать положительные целые абсциссы.
2. По графику определить знак производной в этих точках.
3. Ответить на вопрос задачи.

график ее производной. Укажите количество точек графика функции, в которых

α =1500, tg α < 0, k<0, f’(x0)<0. Чтобы ответить на вопрос задачи …

α =500

Используем метод оценки: tg 450< tg500 < tg 600, 1

α ∈ (0;π/2),если cosα =5/13

Найти значение тангенса угла по значению косинуса угла

академика И.Г.Петровского