Решение уравнений в целых числах

№ 92
г. Кемерово

число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые

или рациональные решения получили название диофантовых уравнений.
Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений с одним неизвестным, для уравнений первой степени и для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными трудной является даже задача доказательства существования целочисленных решений. Более того, доказано, что не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения.

ax + by = c,

a ≠ 0; b ≠ 0
Если с = 0, то решение очевидно х = 0, у = 0.
Если с ≠ 0, и решение (х0 ; у0 ), то целое число
ax0 + by0 делится на d = (a ; b), поэтому с так же должно делиться на общий делитель a и b.
Например: 3х + 6у = 5 не имеет целых решений, так как (3; 6) = 3, а с = 5 не делится на 3 без остатка.
Если уравнение ax + by = c имеет решение (х0 ; у0 ), и (a ; b) = 1, то все решения уравнения задаются формулами х = х0 + bn; y = у0 – an, где nлюбое целое решение.
Например: 3х + 5у = 13, (3; 5) = 1, значит уравнение имеет бесконечно много решений, х0 =1; у0 =2

6

-1

11

16

-4

-7

не имеет решений в натуральных числах.
Эта теорема была сформулирована итальянским математиком Пьером Ферма более 300 лет назад, а доказана лишь в 1993 году.

x + y = xy.
Решение. Запишем уравнение в виде
(x - 1)(y - 1) = 1.
Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в том случае, когда оба они равны 1. Т. е. исходное уравнение равносильно совокупности





с решениями (0,0) и (2,2).

3х² + 4ху – 7у²=

13.
Решение: 3х² - 3ху + 7ху – 7у²= 13,
3х(х – у) +7у(х – у) = 13,
(х – у)(3х + 7у) = 13.
Так как 13 имеет целые делители ±1 и ±13,
1. х – у = 1, 7х – 7у = 7, х = 2,
3х + 7у= 13; 3х + 7у = 13; откуда у = 1
2. х – у = 13, 7х – 7у = 91, х = 9,2,
3х + 7у= 1; 3х + 7у =1; откуда у=- 3,8.
3. х – у = -1, 7х – 7у = -7, х = -2,
3х + 7у= -13; 3х + 7у = -13; откуда у = -1.
4. х – у = -13, 7х – 7у = -91, х = -9,2,
3х + 7у= -1; 3х +7у= -1; откуда у =3,8.
Следовательно уравнение имеет два решения в целых числах: (2;1) и (-2;-1)

9х² + 4х – ху +3у =

88.
Решение: 9х² + 4х – 88 = ху – 3у,
9х² + 4х – 88 = у(х – 3)





так как 5 имеет целые делители ± 1и ± 5, то