Теория вероятностей и комбинаторные правила

прототипы (2013)
МБОУ г. Мурманска гимназия № 3 Шахова Татьяна Александровна

результаты. Результаты (исходы) такого опыта называются событиями.
Пример: выбрасывается игральный кубик

Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным, а которое не может произойти, - невозможным.

Пример: В мешке лежат три картофелины.

Опыт – изъятие овоща из мешка.

Достоверное событие – изъятие картофелины.

Невозможное событие – изъятие кабачка.

них исключает наступление других.
Пример: 1) В результате одного выбрасывания

События А и В - несовместны.

2) В результате двух выбрасываний выпадает
орел (событие А) или решка (событие В).

События А и В - совместны. Выпадение орла в первый раз
не исключает выпадение решки во второй

опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других

Пример: 1) Опыт – один раз выбрасывается монета.

Элементарные события: выпадение орла
и выпадение решки образуют полную группу.

События образующие полную группу называют элементарными.

которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий,

Классическое определение вероятности

Сумма вероятностей всех событий, входящих в полную группу равна 1.

Пример: Опыт – один раз выбрасывается монета.

А – выпал орел Р(А)=0,5

В – выпала решка Р(В)=0,5

Полная группа.

выбрасывание выпал орел
А – за одно выбрасывание выпала решка
А и

Классическое определение вероятности

одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие.
Примеры:

Выпадение орла и выпадение решки –
равновозможные события.

2) В урне лежат три шара. Два белых и синий.

Опыт – извлечение шара.

События – извлекли синий шар и извлекли
белый шар - неравновозможны.

Появление белого шара имеет больше шансов.

Вероятности равновозможных событий равны.

событий.
Пример: Найти вероятность того, что в результате двух выбрасываний игральной

Событие А (первый раз выпала шестерка Р(А)=1/6) и событие В (второй раз выпала шестерка Р(В)=1/6) - совместны.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В.

этих событий.
Пример: Найти вероятность того, что в результате одного выбрасывания

Событие А (выпала шестерка Р(А)=1/6) и событие В (выпала двойка Р(В)=1/6) - несовместны.

Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

наступления этих событий минус вероятность их произведения.
Пример: Найти вероятность

Событие А (выпала шестерка Р(А)=1/12) и событие В (выпала двойка Р(В)=1/12) - совместны.

числа m опытов, в результате которых происходит событие А, к

Примеры: 1) Из 100 рожденных детей родилось 48 девочек. Найти частоту рождения девочек.

2) 4% выпущенных деталей имеют дефекты. Найти частоту деталей , выпущенных с дефектами.

используют правила комбинаторики.
Задача №1: Сколько двузначных чисел можно составить

В данном случае легко перебрать все комбинации.

77
78
79

88
87
89

99
97
98

9 вариантов

9 (цифры могут повторяться)?

Как видим, в этой задаче перебор довольно затруднителен.

Решим задачу иначе.

На первом месте может стоять
любая из трех цифр – 3 варианта.

На втором месте может стоять
любая из трех цифр – 3 варианта.

На третьем месте может стоять
любая из трех цифр – 3 варианта.

На четвертом месте может стоять
любая из трех цифр – 3 варианта.

На пятом месте может стоять
любая из трех цифр – 3 варианта.

Комбинаторное правило умножения

их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в

*

Решение:

Благоприятных событий – 4.

Всего событий – 16.

Р=4/16=0,25

Ответ:0,25

выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места

*

Неудобных мест 12+18=30

Событие А – досталось удобное место.

Р(А)=30/300=0,1

Всего событий – 300 (равно количеству мест)

Ответ:0,1

Решение:

выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами.

*

Решение:

Возможные комбинации пар из 5 человек (1,2,3,4,5)

12
13
14
15

23
24
25

34
35

45

Всего - 10

У каждого 4 шанса

Р=4/10=0,4

Ответ:0,4

жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом.

*

А- «Статор» начинает игру

Решение:

В- начинает игру другая команда

«Статор» играет с тремя командами

Возможные
комбинации:

ААА

ААВ

АВА

ВАА

АВВ

ВВА

ВАВ

ВВВ

Всего - 8

Благоприятное - 1

Ответ:0,125

в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может,

*

Благоприятное событие А – паук пришел к выходу D. Одно.

Решение:

На пути три развилки по два варианта 2·2·2=8

Ответ:0,125

приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс.

*

Решение:

- всего рейсов.

Попасть на первый рейс (равно как и на второй и на любой
имеющийся) – один шанс из пяти .

Ответ:0,2

из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того,

*

Решение:

Возможные комбинации (независимо от количества групп):

ДШН

ДНШ

ШДН

ШНД

НДШ

НШД

6 - вариантов

Благоприятных - 2

Ответ:0,33

что диаметр будет отличаться от заданного меньше, чем на 0,01

*

Решение:

А – диаметр не больше 66,99 и не меньше 67,1

Диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм – противоположное событие

Р(А) =0,965

Ответ:0,035

В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную

*

Решение:

Только 10 из 250 участников имеют шанс попасть в
запасную аудиторию.

- участников не попали в
первые две аудитории

Ответ:0,04

нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если

*

Решение:

События «ничья», «выиграла», «проиграла» составляют
полную группу.

=>Р(ничья)=1-Р(выиграла)-Р(проиграла)=1-0,4-0,4=0,2

первой и во второй игре. Р(А)=0,4∙0,4=0,16
В – команда выиграла в

С – команда выиграла во второй игре и в первой сыграла вничью Р(С)= 0,2∙0,4=0,08

Ответ:0,32

А, В, С -несовместны

№ 320188 Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему

*

Решение:

Событие А – вопрос на тему «Вписанная окружность»

Событие В – вопрос на тему «Параллелограмм»

События А и В – несовместны. (Если достался первый, то не достался второй.)

Ответ:0,35

Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20

*

Решение:

Ответ:0,38

В=А+С

А и С - несовместны

верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что

*

Решение:

Ответ:0,07

С=А+В

А и В - несовместны

какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет

*

Решение:

Возможные исходы, удовлетворяющие условию:

1 игра – жребий выигран Р=0,5 (Вероятность орла=0,5)

2 игра – жребий выигран Р=0,5 (Вероятность орла=0,5)

3 игра – жребий не выигран Р=0,5 (Вероятность решки=0,5)

Порядок игр в данной задаче не имеет значения. События совместны.

Событие А – жребий выигран ровно два раза

Р(А)=0,5∙0,5∙0,5=0,125

Ответ:0,125

магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите

*

Решение:

Ответ:0,8836

События А1 и А2 - совместны

цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел.

Решение:

Событие А – первый раз не попал. Р(А)=1-0,4=0,6

Лучше переформулировать задачу.

Сколько выстрелов (n) надо сделать, чтобы вероятность непопадания была меньше или равна 0,02 (1-0,98)

цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел.

Решение:

Тогда рассматриваем события – не попал при следующих выстрелах (возможны если не попал первый раз т. е. к-во событий =n-1). P=1-0,6=0,4

Перебором определяем n.

n=5

Ответ: 5

цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел.

Решение(второй способ):

Ответ: 5

Вероятность промаха при первом выстреле равна 1-0,4=0,6

Вероятность промаха при каждом следующем выстреле
равна 1-0,6=0,4

Будем стрелять, пока вероятность промаха будет менее 0,02 (1-0,98 – вероятность не уничтожения цели)

0,6∙0,4∙0,4∙∙∙<0,02

одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того,

*

Решение:

Вероятность того, что перегорят обе лампы равна 0,3∙0,3=0,09

Событие – не перегорела хотя бы одна лампа – противоположное.

Его вероятность равна 1-0,09=0,81

Ответ:0,81

в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того,

*

Решение:

Событие А – попал.

Р(А) =0,8

Р(А) =0,8 =>

(вероятность непопадания)

Все пять событий совместны

Р=0,8∙0,8∙0,8∙0,2∙ 0,2=0,02048

Ответ:0,02048

неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля.

*

Решение:

(совместны)
Батарейка исправна и неисправна – несовместны, значит событие – забракована

Ответ:0,0296

крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным.

*

Решение:

гепатитом положительный анализ

Р(В1) =0,9

А1 и В1 – совместны
А2 – поступил

Р(А2) =1-0,05=0,95

В2 – у здорового пациента положительный анализ

Р(В2) =0,01

А2 и В2 – совместны

Возможные благоприятные для задачи события

Поступил больной и анализ
положительный

Поступил здоровый и анализ
положительный

Эти события несовместны

Ответ:0,0545

«Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на

Шутка от составителей тренировочных работ на сайте
alexlarin.com (убрали одну стенку).

Решение:

Паук может прийти
к выходу А синим путем.

Три развилки с двумя
вариантами исходов.

Р1 =0,5∙0,5∙0,5=0,125

в открытом банке)
2) Паук может прийти к выходу А
зеленым

Пять развилок.

Р1=0,5∙0,5∙0,5=0,125

Р2=0,5∙0,5∙0,5∙0,5∙0,5=0,03125

Пришел к выходу А синим путем
и пришел зеленым путем –
несовместные события.

Р=Р1+Р2=0,125+0,03125=
=0,15625

Ответ: 0,15625

и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день.

*

Решение:

А4 – 4 июля хорошая погода. Р(А4)=0,8

В4 – 4 июля отличная погода. Р(В4)=1-0,8=0,2

А5 – 5 июля хорошая погода. Р(А5)=

0,8·0,8+0,2·0,2=0,68

В5 – 5 июля отличная погода. Р(В5)=

0,2·0,8+0,8·0,2=0,32

В6 – 6 июля отличная погода. Р(В6)=

0,32·0,8+0,68·0,2=0,392

Ответ:0,392

случаях.

Была хорошая и осталась такой. Вероятность=0,8·0,8 (была и осталась –

Была отличная и изменилась.
Вероятность=0,2·0,2 (была и изменилась – совместные события)

Случаи несовместны =>
Р(А5) = сумме вероятностей двух событий

набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из

*

Решение:

– набрано не менее 70 баллов по русск. языку. Р(В)=0,8
С

Все эти события совместны

Вероятность поступления только на «Лингв.» =

0,6·0,8·0,7·(1-0,5)=0,168

Вероятность поступления только на «Комм.» =

0,6·0,8·0,5∙(1-0,7)=0,072

Вероятность поступления хотя бы на одну специальность =

=0,168+0,072+0,168=0,408

Ответ:0,408

Вероятность поступления на обе специальности=

0,6·0,8·0,7·0,5=0,168

Все эти события несовме
стны

0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из

*

Решение:

Событие А – взял пристрелянный. Р(А)=4/10=0,4

Событие В – взял непристрелянный. Р(В)=1-Р(А)=0,6

Вероятность непопадания из пристрелянного=1-0,9=0,1

Вероятность непопадания из непристрелянного=1-0,2=0,8

и не попал – совместные события)

Событие В1 – взял непристрелянный

Вероятность непопадания

Ответ:0,52

№ 320180 Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение:

фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая –– 55%. Первая фабрика выпускает

*

Решение:

Событие А –стекло выпустила первая фабрика

Р(А)=0,45

Событие В –стекло выпустила вторая фабрика

Р(В)=0,55

Событие А1 – колесо, выпущенное первой фабрикой – бракованное.

Р(А1 )=0,03

Событие В1 – колесо выпущенное второй фабрикой – бракованное.

Р(В1 )=0,01

фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая –– 55%. Первая фабрика выпускает

*

Решение:

- куплено бракованное колесо первой ф.

- куплено бракованное колесо второй ф.

Эти события - несовместны

Р=0,0135+0,0055=0,019

Ответ:0,019

младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе.

*

Решение:

родилось девочек.

статистическая вероятность
(частота рождения).

Ответ:0,4976

в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000

*

Решение:

статистическая
вероятность.

Ответ:0,006

дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные

*

Решение:

А – произведенная тарелка имеет дефект

Р(А) =10%:100%=0,1

В – при контроле выявлена дефектная тарелка

Р(В) =80%:100%=0,8

Вероятность того, что произвели
дефектную тарелку и обнаружили дефект =

Событие – произведена тарелка без дефекта и дефект не обнаружен противоположно предыдущему.
Его вероятность =

Ответ:0,92

40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из

*

Решение:

В задаче требуется узнать, какую часть всех яиц выпускает первое хозяйство. Это статистическая вероятность события «куплено яйцо из первого хозяйства»

Пусть х яиц выпускает первое хозяйство (0,4х – высшей кат.), у – второе (0,2у – высшей кат.).

Составим уравнение:

Значит первое хозяйство поставляет ¾ всех яиц.

Ответ:0,75

них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого

*

Решение:

Событие А – исправен первый автомат Р(А)=1-0,05=0,95

Событие В – исправен второй автомат

А∙В – исправны оба

Р(А∙В)=0,95∙0,95=0,9025

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А)∙Р(В)=0,95+0,95-0,9025=0,9975

Ответ:0,9975

Р(В)=1-0,05=0,95

А+В– хотя бы один исправен

События А и В – совместны.

того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна

*

Решение:

Событие А – кофе закончилось в первом автомате Р(А)=0,3

Событие В – кофе закончилось во втором автомате

D – кофе закончилось в двух автоматах

Р=1-Р(С)=0,52

Р(D)=0,12

Р(С)=Р(А)+Р(В)-Р(А)∙Р(В)=0,3+0,3-0,12=0,48

Ответ:0,52

Р(В)=0,3

С– кофе закончится хотя бы в одном из двух

События А и В – независимы

События «кофе закончилось хотя бы в одном» и «осталось в обоих» - противоположны.

и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по

Решение:

Андрей обязательно попал в какую то группу (достоверное событие) Р=1

Теперь в этой группе 12 свободных мест и осталось 25 учеников..

Сергей попал в ту же группу Р=12/25

Рассматриваемые события – совместны.

Ответ:0,48

поступило 35 холодильников. Известно, что 5 холодильников с дефектами, но

Решение:

Вероятность того, что первый взятый наугад холодильник имеет дефекты равна 5/35=1/7

Теперь из 34 холодильников 4 имеют дефекты.

Вероятность того, что второй взятый наугад холодильник имеет дефекты при условии, что один с дефектами уже взяли равна 4/34=2/14

Рассматриваемые события – совместны.

Ответ:0,02

Литвиненко.“Вероятность и статистика.” - М.: Аркти. - 2006.

Открытый банк

http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-probability.pdf

http://www.matburo.ru/tvbook_sub.php?p=par14

http://ta-shah.ucoz.ru/load