Учимся решать задачи на смеси и сплавы

математики Паршева В.В.
Учимся решать задачи на смеси и сплавы
2008г.

что такое концентрация вещества в смеси (растворе или сплаве). Пусть

в смесь входят компоненты А, В и С с массами тА, тВ, тС соответственно. Будем считать, что масса т смеси равна сумме масс компонентов, т.е. т = = тА + тВ + тС. Тогда концентрацией компонента А по массе будем называть отношение массы этого компонента к массе всей смеси и обозначать как СА :


Аналогично для компонентов В и С


Концентрация — безразмерная величина. Понятно, что сумма концентраций всех компонентов смеси равна 1 (СА + СВ + СС = 1).

называется число
рА= сА 100%, т.е. это

концентрация вещества, выраженная в процентах.
Аналогично рВ= сВ 100% и
рС = сС 100%.

в первом куске.
Масса олова во втором куске.
Масса олова в двух

кусках.
Масса сплава в двух кусках.
Процентное содержание олова в двух кусках.

моделью — схемой, в которой смесь (раствор, сплав) изображается в

виде прямоугольника, разбитого на фрагменты в соответствии с числом входящих в нее (в него) компонентов, а непосредственно при составлении уравнения — проследить содержание какого-нибудь одного компонента.

свинцом. Один сплав содержит15% меди, а другой 65%. Сколько нужно

взять каждого сплава, чтобы получилось 200 г сплава, содержащего 30% меди?

Решение. Изобразим каждый сплав в виде прямоугольника,
разбитого на два фрагмента. Поскольку данные сплавы соединяют в новый (на схеме эту операцию обозначим знаком « + » между прямоугольниками, а тот факт, что третий сплав — результат смешения первых двух, покажем с помощью знака «=») и он содержит те же самые компоненты, изобразим получающийся сплав в виде такого же прямоугольника

достаточно указать первые буквы в их названиях (если они различны).

В данном случае — это буквы М (медь) и С (свинец).
Теперь внутри соответствующих фрагментов каждого прямоугольника запишем данное в условии процентное содержание элементов (в нашем примере только меди), а под прямоугольником укажем массу сплава (нам известна только масса третьего сплава).

ситуации








Решим задачу двумя способами.

второго сплава (200 - х) г. Дополним модель данными
Зная,

что сумма масс меди в исходных сплавах равна массе меди в новом сплаве, составим уравнение 0,15х+ 0,65(200 - х) = 0,3 200, из которого х = 140.
Следовательно, надо взять 140 г первого сплава и 200 — 140 = 60 г - второго.

и второго сплава соответственно.



Очевидно, х + у = 200 —

первое уравнение системы.
Второе уравнение получим, приравняв сумму масс
меди в исходных сплавах и в новом сплаве. Таким образом,

из рассмотренных способов решения можно было составить уравнение и на

основе подсчета масс свинца. Ясно, что если в первом сплаве медь составляет 15% от его общей массы, то на свинец приходится 85%. Аналогично во втором и третьем сплавах свинца будет 35% и 70% со­ответственно. Тогда, решая задачу первым способом, получим уравнение
0,85х + 0,35(200 - х) = 0,7 200.
Очевидно, оно равносильно уравнению 0,15х + 0,65(200 - х) = 0,3 200.
Из двух возможных уравнений обычно выбирают то, что проще составить по условию задачи или легче будет решить.

40% олова. Сколько килограммов олова надо добавить к этому сплаву,

чтобы содержание олова в новом сплаве было равно 70%?

Решение. Обозначим компоненты сплава буквами М (медь) и О (олово). Пусть к сплаву надо добавить х кг олова, тогда масса нового сплава будет равна (4 + х) кг. Составим модель рассматриваемой в задаче ситуации.




Так как сумма масс олова, указанных в левой части схемы (до смешения сплавов), равна массе олова в новом сплаве, можно составить уравнение
0,4 • 4 + х = 0,7(4 + х), откуда х = 4.
Ответ: 4 кг.

12% влаги. Сколько сушеных грибов получится из 10 кг свежих?

Решение.

Введем обозначения: ГМ — грибная масса, В — вода (влага). Процесс сушки грибов состоит в удалении из них большей части влаги. Если принять за х кг массу сушеных грибов, то масса удаленной влаги будет равна (10 - х) кг. Теперь нетрудно составить необходимую для дальнейшего решения схему

влаги, учитывая, что она удаляется из грибов:
0,9

10-(10-х) = 0,12х.
Однако поступим иначе. Найдем процентное содержание грибной массы в свежих и в сушеных грибах и, учитывая, что она в результате сушки не изменилась, составим уравнение 0,1 • 10 = 0,88х.


Ясно, что второе уравнение проще первого. Решив его, найдем


Ответ: .

стали, содержащей 6% примесей. Каков процент примесей в руде?
Решение. Воспользуемся

следующими обозначениями: Ж — железо в руде и стали, П — примеси. В процессе плавки удаляется большая часть примесей. Пусть в руде их содержится х %. Составим вспомогательную схему:




Рассуждая, как и в предыдущей задаче, придем к уравнению
0,01 • х • 40 - 20 = 0,06 • 20.
Или, выразив процентное содержание железа в руде и стали:(100 -х)% и 94% соответствен­но, приравняем массы железа в обоих случаях, получим равносильное уравнение0,01 • (100 - х) • 40 = 0,94 • 20, откуда х = 53.
Ответ: 53%.

литров и доли­ли водой. Потом опять вылили столько же литров

смеси, после чего в баке осталось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?
Решение. Введем обозначения: К — кислота, В — вода. Пусть х л - количество кислоты, отлитой из бака в первый раз. Описанную в задаче ситуацию можно представить в виде следующей схемы

Пример 5

не хватает данных, чтобы составить уравнение.

Определим процентное содержание воды в отлитой смеси. После второй операции (когда кислоту заменили водой) в баке получилась смесь, в которой на 54 л приходится х л воды. Следовательно, процентное содержание воды в этой
смеси равно
Кроме того, после третьей операции (когда вылили х л смеси) в баке стало (54-х)-24=(30-х)л воды. Добавим эти данные в схему

Ясно, что количество воды,
казанное в схеме слева и
справа от знака равенства,
одно и то же, т.е.

Корни уравнения: х=90, х=18. Первый корень не подходит

по смыслу задачи (нельзя отлить 90л из бочки, вмещающей всего 54л).
Ответ:18л

содержал 76% серебра. Его сплавили с другим слитком и получили

слиток весом в 10.5 кг, содержание серебра в котором было 84%. Сколько процентов серебра содержалось во втором слитке?

Решение:
1) 3.5-0.76 = 2.66 (кг) серебра в первом слитке.
2) 10.5-0.84 = 8.82 (кг) серебра в 10.5 кг сплава.
3) 8.82 - 2.66 = 6.16 (кг) серебра во втором слитке.
4) 10.5 - 3.5 = 7 (кг) вес второго слитка.
5) 6.16: 7 = 0.88 = 88% серебра содержалось во втором слитке.
Ответ: 88% серебра содержалось во втором слитке.