Депозит. Кредит. Проценты. Дисконтирование

Самара
Балыков Николай Валентинович

проценты?
Что такое кредит?
Как считать задолженность по кредиту?
Что такое аннуитет?
Как составлять

график погашения кредита?

переданная лицом кредитному учреждению с целью получить доход в виде

процентов, образующихся в ходе финансовых операций с вкладом.

определенных условиях

10% годовых на 1 год.
Сколько денег будет на счете вкладчика

через 1 год?

Разберемся с числами. Что они означают?

в банк, отдает кассиру, который зачисляет эту сумму на счет

вкладчика (мы не рассматриваем детали данной операции).

называлось «интерес». Зачем люди относят деньги в банк? В частности,

чтобы заработать. 10% и будет «заработок» вкладчика.
Т.е. сумма вклада увеличится на 10% через оговоренное время.
Т.е. на вкладе будет лежать денег больше, чем было изначально. На 10% больше.

так как в договоре о вкладе может быть указано, что

если вкладчик изымет сумму вклада до истечения срока (в нашем случае 1 год), то вкладчик потеряет процент.
Это может случится если вкладчику срочно понадобились денежные средства (не важно зачем).
В таком случае вкладчику выгоднее потерять проценты, но иметь возможность вернуть первоначальную сумму.

= 10000 рублей.
Сколько будет денег на счете вкладчика через 1

год?
Ответ: 100000 (начальная сумма) + 10000 (проценты) = 110000 рублей.
Можно ли сделать расчет быстрее? Да!

100000*0,1
Стало: 100000*(1+0,1) = 110000 рублей, где
0,1 это представление процентов

как доли, т.е. 10%/100% = 0,1.

Получилась задача в одно логическое действие.

Давайте попробуем решить еще одну задачу.

рублей под 5% годовых на 1 год.
Сколько денег будет на

счете вкладчика через 1 год?
Решение:
200000*(1+0,05) = 210000 рублей.
Из них 200000 руб. это первоначальная сумма, а
10000 руб. это проценты по вкладу.

сегодня или 110 рублей через 1 год если известно, что

любой банк дает 5% годовых дохода по депозиту?
Ответ: всегда лучше «синица в руках, чем журавль в небе», поэтому мы возьмем 100 рублей сегодня.
Правильно?
Нет, неправильно!

сейчас

через год

и разберемся.
Итак, 100 рублей под 5% годовых дадут нам через

1 год – 100*(1+0,05) = 105 рублей.
Что же получается?! Если мы примем предложение взять 100 рублей сегодня, то через 1 год у нас будет только 105 рублей, а не 110 рублей как могло бы быть, если бы мы приняли второй вариант!

в обратную сторону. Это как же?
Сколько денег нужно положить в

банк сейчас под 5% годовых, чтобы через 1 год получить 110 рублей?
Т.е. Х*(1+0,05) = 110 рублей. Осталось найти Х, что мы умеем делать давно!
Х = 110/1,05 = 104,76 рублей.
Т.е. в сегодняшних деньгах 110 рублей через 1 год при 5% ставке депозита будут равны 104 рублям и 76 копейкам!

понятиями из современных финансов: настоящей и будущей стоимостью. В мировой

практике их чаще всего обозначают устоявшимися английскими сокращениями:
PV – present value (настоящая стоимость).
FV – future value (будущая стоимость).
Что же в нашем примере было PV, а что же было FV?

были 100 рублей и 104,76 рублей.
FV – future value (будущая

стоимость) это были 105 рублей и 110 рублей.

Простой вывод из наших рассуждений: сравнивать можно любые показатели отнесенные к одному времени! Т.е. нельзя без расчета знать что больше: 100 рублей сегодня или 110 рублей завтра! Надо сделать расчет и привести все данные задачи или к настоящим (PV) или к будущим (FV) величинам.

Давайте положим 100000 рублей под 10% годовых, но не на

1 год, а на целых 3 года. Что изменится?
Важная мысль условия задачи - процент по вкладу начисляется один раз в год, в конце каждого года!
Давайте рассчитаем сколько будет денег на вкладе через 3 года.

будет:
100000*(1+0,1) = 110000 рублей.
Через еще 1 год, т.е. всего через

2 года будет:
110000*(1+0,1) = 121000 рублей.
Через еще 1 год, т.е. всего через 3 года будет:
121000*(1+0,1) = 133100 рублей.
Как будто мы забираем вклад и проценты через каждый прошедший год и сразу кладем еще на 1 год, причем кладем не только первоначальную сумму, но и сумму накопленных процентов.

возрастает, так как после 1 года проценты начинают начисляться на

проценты предыдущих лет. Если бы это было не так, то каждый год бы добавлялось по 10000 рублей и через 3 года сумма составила всего 130000 рублей, а не 133100 рублей. Это и есть эффект «сложного процента».
Вопрос: можно ли упростить расчет, особенно если лет будет много или, например, банк платит проценты 1 раз в месяц, т.е. даже за один год надо будет считать проценты 12 раз?
Ответ: да, конечно! Давайте разберемся.

на вкладе будет:
100000*(1+0,1) = 110000 рублей.
Через еще 1 год, т.е.

всего через 2 года будет:
110000*(1+0,1) = 121000 рублей.
Через еще 1 год, т.е. всего через 3 года будет:
121000*(1+0,1) = 133100 рублей.

в последующее:
100000*(1+0,1)*(1+0,1)*(1+0,1) = 133100 рублей.
...или…
100000*(1+0,1)3 = 133100 рублей.
…или…
В общем виде:

PV*(1+r)n = FV, где
PV – настоящая стоимость,
r – процентная ставка,
n – количество периодов начисления процентов,
FV – будущая стоимость.

процент».
Где же он? А он равен проценту, который мы

получили с учетом того, что проценты начислялись на проценты.
В нашем случае: 100000*(1+0,1)3 = 133100 рублей.

Сложный процент равен: (1+0,1)3 – 1 = 0,331 или 33,1%. Но это ведь за 3 года! А сколько будет в пересчете на 1 год?
0,331/3 = 0,11333 или 11,33% годовых (простых %).

сложным процентом!
Воспользуемся формулой:
PV*(1+r)n = FV
чтобы найти сумму на вкладе

через 20 лет. Сложно? Нет, очень просто!

100000*(1+0,1)20 = 672750 рублей!

Компьютер в банке сделает возведение в 20 степень в считанные доли секунды, но, главное, теперь мы знаем как он считает!

если вы положили 10000 рублей под столько процентов годовых, каков

ваш номер в классном журнале, на столько лет, каков номер в классном журнале вашего соседа по парте.

На решение дается 5 минут.
Пользоваться калькулятором можно!

от кредитора заемщику за плату в виде кредитного процента.

условиях кредитования

годовых на 1 год.
Сколько денег заемщик должен вернуть банку

через 1 год?

Не похожа ли данная задача на ту, что мы решали про депозиты?
Вроде похожа, но не сразу понятно как!

Давайте разберемся!

в банке).
Вкладчик положил в банк 100 000 рублей под 10%

годовых на 1 год. Сколько денег будет на счете вкладчика через 1 год?
А теперь перепишем ее немного другими словами.
Банк взял в долг у вкладчика 100 000 рублей под 10% годовых на 1 год. Сколько банк будет должен вернуть вкладчику через 1 год?
Получилось, что задача про депозит и про кредит абсолютно одинаковые задачи! Ура!!! Давайте же её решим.

годовых на 1 год. Сколько денег заемщик должен вернуть банку

через 1 год?

10000*(1+0,1) = 11000 рублей.

Формально всё правильно, но в реальности банк не будет ждать целый год, чтобы взять с заемщика процент. Он будет брать процент каждый месяц в течение года.
Но тогда у нас появляется новая задача. Сформулируем её.

под 12% годовых на 1 год. Процент начисляется ежемесячно равномерно.

Сколько денег заемщик должен вернуть банку через 1 год?
Теперь мы сначала должны найти ежемесячный процент. Тут всё просто. Это 12% разделить на 12 месяцев. Т.е. 1% в месяц.
Давайте сначала решим задачу как будто заемщик не возвращает долг в течение месяца (что ему совсем невыгодно) и возвращает всю сумму и все проценты в конце срока, т.е. через 12 месяцев.
10000*(1+0,01)12 = 11268,25 рублей.

процентов, так как если бы простые проценты просуммировать 12 раз

получилось бы 11200 рублей долга. 68,25 рублей «набежали» за счет сложных процентов.

Расчет теперь верный, но ситуация опять не совсем реалистичная. Ведь любой банк будет хотеть получать проценты по мере их начисления, а любой заемщик будет стремиться быстрее погасить кредит, чтобы избежать переплаты процентов.

10% годовых на 3 года. Процент начисляется ежегодно. Кредит и

процент погашаются тремя одинаковыми платежами сразу после начисления процентов. Составьте расписание погашения данного кредита.

Решение данной стандартной кредитной задачи требует знакомства с еще один понятием из мира финансовой математики – аннуитета.
Мы не будет углубляться в данное понятие в рамках школьного предмета, но общее представление дадим.

всех платежей будет равна размеру основного долга и сумме всех

причитающихся банку (кредитору) процентов.
Формула вычисления аннуитетного платежа выводится из знания рядов из курса математики. Мы не будем останавливаться на том как вывести формулу, мы рассмотрим ее смысл и применимость для решения задач.

коэффициента настоящей стоимости будущих аннуитетных платежей.
PVIFAr,n = 1/r – 1/(r(1+r)n
Все

компоненты формулы мы уже знаем, а именно:
r – процентная ставка,
n – количество периодов начисления процентов.
Осталось узнать чему равен аннуитетный платеж банку.
Платеж = (Размер долга) / PVIFAr,n

рублей под 10% годовых на 3 года. Процент начисляется ежегодно.

Кредит и процент погашаются тремя одинаковыми платежами сразу после начисления процентов. Составьте расписание погашения данного кредита.

Найдем коэффициент PVIFAr,n = 1/r – 1/(r(1+r)n:
PVIFAr,n = 1/0,1 – 1/(0,1(1+0,1)3 = 2,486851991.
Найдем ежегодный платеж:
Платеж = 1000000 / 2,486851991 = 402114,80 рублей.

чтобы составить расписание погашения кредита.
Принято составлять таблицу с 5 столбцами,

назовем их буквами латинского алфавита:
A – номер периода, где 0 это период взятия кредита и никакого погашения еще не происходит.
B – ежегодный одинаковый платеж. Его мы уже рассчитали по формуле аннуитета.

остаток кредита. Т.е. в первом случае на весь кредит в

1 млн. рублей, а потом на всё меньшую сумму.
D – показывает сколько денег из платежа пошло на уплату основного долга, т.е. на сколько уменьшился долг. Это разница платежа и процента за этот период.
F – остаток долга по кредиту. В период 0 он равен сумме кредита, а в период 3 после уплаты последнего платежа он должен стать равным нулю.

с 1 по 3.

100000 из 402114,80. запишем в D.

млн. руб. запишем в столбец F.

в С.

D из последнего числа из столбца F и получим, что

остаток долга 0!

Вот мы и составили расписание погашения кредита. Осталось узнать сколько мы уплатили всего денег, сколько из них пошло на выплату процентов, сколько ушло на погашение основного долга.
Для этого найдем суммы столбцов B, C и D.

быть.
Общая сумма выплат составила – 1206344,41 руб.
Общая сумма выплат процентов

составила – 206344,41 руб.
Разница этих двух чисел и есть размер кредита - 1 млн. руб.

млн. руб. Срок 5 лет. Процент по кредиту равен вашему

номеру в классном журнале. Погашение ведется равными платежами в конце каждого года сразу после начисления процентов за прошедший год.

Самопроверка: если в последнем столбце в последней строке получилось «0», значит вы нигде не ошиблись!

10-11 классов общеобразоват. орг. Углубленный уровень образования. / Под ред.

С.И. Иванова, А.Я. Линькова – 22-е изд. В 2-х книгах М.: ВИТА-ПРЕСС, 2016.
2. Деньги, кредит, банки : учебник и практикум для академического бакалавриата / под ред. Н.Н. Мартыненко, Ю.А. Соколова. – М.: Издательство Юрайт, 2017.

кредит? Виды кредитов» http://www.banki.ru/wikibank/kredit/
Статья «Депозит» http://www.banki.ru/wikibank/depozit/
Статья «Процентные ставки по вкладам» http://www.banki.ru/wikibank/protsentnyie_stavki_po_vkladam/
Статья «Аннуитет. Аннуитетные

платежи» https://finances-analysis.ru/procent/annuity.htm

знака»: http://hispablog.ru/wp-content/uploads/2013/12/signos-e1408254691590.jpg
Изображение смайлика «всё супер»: https://pp.userapi.com/c629307/v629307865/14c60/mPaa0-HqRT4.jpg
Изображение «банка»: http://chellombard.ru/wp-content/uploads/2016/06/bank-dengi-pod-zalog-pts.gif
Изображение «стопки денег

маленькой»: https://img-fotki.yandex.ru/get/15495/200418627.59/0_117a94_2af3dbf6_orig.png
Изображение «стопки денег большой»: https://img-fotki.yandex.ru/get/15495/200418627.59/0_117a94_2af3dbf6_orig.png
Изображение «знака процента»: http://4udesnaya-da4a.com/wp-content/uploads/percent.jpg
Изображение «знака равно»: https://pixabay.com/p-150803
Изображение «знака плюс»: http://rkamen.pnzreg.ru/files/kamenka_pnzreg_ru/2013/03/plus-.jpg
Изображение «мыслителя»: https://pp.userapi.com/c4303/g28379894/a_739e8082.jpg
Изображение «1 год»: http://nevafootball.ru/wp-content/uploads/2015/03/Untitled-1.png
Изображение «девочка с плакатом «Ура!»: https://img-fotki.yandex.ru/get/6433/58581001.97/0_a4e67_9f97b1bf_S