Звезды

скрываете? Звезды, таящие мысли глубокие, Силой какою вы душу пленяете?»
Сергей

Есенин

свойства n - конечных звезд
а) Количество

вершин звезды к-го порядка.
б) Сумма углов (2k+3)-конечной звезды k-го порядка.
в) Сумма углов n - конечной звезды к-го порядка
г) Расположение вершин n - конечных звезд
Вывести свойства правильных n-конечных звезд

Пусть А1, А2 , …, Аn - вершины выпуклого n-угольника.

Соединим вершины этого n-угольника через одну отрезками. Получившуюся фигуру назовем n-конечной звездой первого порядка.

Определения

выпуклого n-угольника. Соединим вершины этого n-угольника через k отрезками. Получившуюся

фигуру назовем n-конечной звездой k-го порядка. (k≥ 0)

Будем называть вершинами n-конечной звезды k-го порядка вершины выпуклого n-угольника, которые мы соединяли через k отрезками для образования этой звезды (k≥0), а углами звезды – углы с этими вершинами.

порядка

не менее 2к + З, где k≥0.

Доказательство:

Пусть А – некоторая вершина звезды к-го порядка. Она соединена ровно с двумя вершинами, обозначим их В и С. По ту сторону от прямой АВ, где не лежит вершина С, находится ровно к вершин звезды.
По ту сторону от прямой АС, где не лежит точка В,
находится ровно к вершин звезды.
Значит количество вершин звезды не менее 2к +3,
что и требовалось доказать.

Если между вершинами В и С не лежит ни одной вершины, то количество вершин звезды равно 2к +3.
Таким образом, 2к +3 – наименьшее количество вершин n-конечной звезды к-го порядка.
Будем называть (2к +3) - конечные звезды к-го порядка «звездочками» к-го порядка.

к=0, это теорема о сумме углов треугольника.

Доказательство теоремы 2 при

к=1
Пусть А1А2А3А4А5 пятиугольная звезда первого порядка. Докажем, что сумма углов А1+А2+А3+А4+А5= 1800

Величина угла А5А6А2 равна разности 1800
и суммы величин углов А5 и А2,
так как сумма величин углов
треугольника равна 1800. Величина угла
А5А6А2 равна величине угла А4А6А3
(вертикальные), значит величина
угла А4А6А3 также равна разности 1800
и суммы величин углов А5 и А2, но
она равна разности 1800 и суммы
величин углов А6А4А3 и А6А3А4. Значит сумма величин углов А5 и А2 равна сумме величин углов А6А4А3 и А6А3А4. Таким образом, А1+А2+А3+А4+А5=А1+А3+А6А3А4+А6А4А3+А4 = 1800

К.
Сумма величин углов А и В равна сумме величин

углов С и D.
Будем говорить, что углы CВA и ВAD
переходят в углы BСD и ADС.

Доказательство теоремы 2 при k=2:

Пусть А1А2А3А4А5А6А7 семиконечная
звезда 2-порядка.
Докажем, что А1+А2+А3+А4+А5+А6+А7 = 1800

Углы А6 и А3 переходят в углы А8А7А2 и А8А2А7.
Углы А9А7А2 и А9А2А7 переходят в углы
А9А5А4 и А9А4А5.
Значит
А1+А2+А3+А4+А5+А6+А7 = А1+А5+А4+А9А5А4+А9А4А5 =1800
(т.к. является суммой углов в треугольнике А1А5А4),
что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы 2 при произвольном k.

Пусть А1А2 … Аn n-конечная звездочка k-порядка. Соединим вершины Ак+2 и Ак+3 (на чертеже В и С) , А2 и Аn , Ак+2 и Аn , Ак+3 и А2 отрезками. Сумма величин углов треугольника А1ВС равна 1800. Углы Аn ВС и А2СВ переходят в углы ВАnА2 и СА2Аn.

Углы Ак+1АnА2 и Ак+4А2Аn переходят в углы
АnАк+1 Ак+4 и А2 Ак+4 Ак+1 и т. д.
Совершив к переходов, получаем то,
что и требовалось доказать.

к-го порядка равна 180˚(n – (2к+2))

При к=0 это теорема о сумме углов многоугольника.
Доказательство теоремы 3 при к=1
Пусть АВСDE пятиконечная звезда первого порядка, F – некоторая точка плоскости такая, что шестиугольник с вершинами А, В, С, D, E, F выпуклый.

Сумма углов шестиконечной звезды первого порядка с вершинами в этих точках равна сумме вершин двух пятиконечных звезд (синей и красной), т.е. 360˚.

Добавим еще одну точку.
Получим семиконечную звезду
первого порядка.

Сумма семиконечной звезды первого порядка равна 540˚.
Таким образом, с добавлением точки добавляется
пятиконечная звезда первого порядка, углы которой
не пересекаются с углами предыдущей звезды или
пересекаются по отрезку.
Проводя рассуждения в обратном порядке, получаем, что n-конечная звезда
первого порядка может быть разбита на n-4 пятиконечные звезды первого
порядка, и сумма углов этой звезды равна 180˚(n-4). Теорема 3 для к=1 доказана.

при произвольном k
Пусть есть n-конечная звезда

к-го порядка. Выберем 2к+З вершины этой звезды и соединим их через к отрезками. Получилась (2к + З)–конечная звезда к-го порядка, сумма ее углов 180˚.
Будем последовательно добавлять по одной вершине и соединять вершины через одну отрезками. Таким образом, исходная n-конечная звезда будет разбита на n–(2к+2) (2к +3)–конечных звезд к-го порядка. Сумма углов n-конечной звезды равна 180˚(n – (2к+2)), что и требовалось доказать.

звезды к-го порядка, мы говорили, что вершины звезды являются вершинами

выпуклого n-угольника.
Для к=0 и для к=1 это условие обязательно. А если к>1, то n-угольник, образованный вершинами звезды может быть и не выпуклым, более того, некоторые вершины звезды могут лежать на одной прямой.

Для построения n-конечной звезды к-го порядка достаточно, чтобы к точек, через которые мы соединяем вершины, лежали по одну сторону от отрезка, а все остальные по другую. При этом все ранее доказанные свойства сохраняются.

Правильные n - конечные звезды.
Определение.
Назовем звезду правильной, если ее вершины

являются вершинами правильного n-угольника.

У правильных звезд все углы равны.
У правильных звезд все отрезки, соединяющие соответствующие вершины равны.

На рисунке изображены правильные звезды: пятиконечная звезда первого порядка, семиконечная звезда второго порядка,
девятиконечная звезда третьего порядка.

образуют пятиконечную звезду нулевого порядка. Отрезки, образующие семиконечную звезду второго

порядка, пересекаясь, образуют семиконечные звезды первого и нулевого порядков. Отрезки, образующие девятиконечную звезду третьего порядка, пересекаясь, образуют девятиконечные звезды второго, первого, нулевого порядков.

Итак, если мы продолжим стороны правильного 2n+1-угольника, то при их пересечении получаем правильные звезды первого, второго, ..., n-1-го порядка.

так же, как и выпуклые n-угольники.

n-конечная звезда к-го порядка может

быть разбита на n–(2к+2)
(2к +3)-конечных звезд к-го порядка.

Правильные n-конечные звезды обладают некоторыми свойствами правильных многоугольников.

При продолжении сторон правильного 2n+1-угольника в их пересечении получаются правильные звезды первого, второго, ..., n-1-го порядка.

Программа «Power Point»
Программа «Geogebra»

При

подготовке доклада литературой и другими источниками не пользовалась.

«Компьютерный центр»

Научный руководитель Рысева Людмила Николаевна,
педагог дополнительного образования

МАОУ ДО «Компьютерный центр»