“ Электротехника, электроника и схемотехника

и параметры ВАХ для нелинейных элементов
Методы расчета нелинейных цепей
Содержательная часть

лабораторной работы 6

Электротехника.
Общее представление
Переходный процесс (п.п.) – это процесс кратковременного изменения

токов и напряжений в электрической цепи в результат ее коммутации или изменения свойств источников электрической энергии или изменениями параметров иных элементов электрической цепи. Обусловлен несоответствием величины запасенной энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора ее значению для нового состояния цепи. Может сопровождаться перенапряжениями и сверхтоками, разрушающими устройство («быстрые» п.п., обусловленные паразитными реактивными элементами в цепи), но может быть и полезен, например, в генераторах
Основные методы расчета:
Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние линейной цепи
Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам. Основан на применении преобразования Лапласа и его свойствах.
Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза
Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия
Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в нормальной форме (форме Коши)

В основе всех перечисленных методов расчета изначально лежат уравнения связи между токами и
напряжениями на реактивных элементах UL=L*di/dt и iC=C*dU/dt и уравнения для
величины энергии магнитного и электрического полей на этих элементах:

Электротехника.
Основы расчета
Различают докоммутационные и послекоммутационные начальные значения (н.з.), где

под коммутацией не обязательно понимать переключение в схемах. Это может быть, например, просто скачкообразное изменение амплитуды питающего цепь синусоидального переменного напряжения. Докоммутационные н.з. – это значения токов и напряжений в цепи непосредственно перед коммутацией (t=0-), а послекоммутационные – это их значение в самом начале переходного процесса (t=0+). Докоммутационные н.з. могут быть нулевыми и ненулевыми

Законы коммутации - Вытекают из закона сохранения электрической энергии и соотношений UL=L*di/dt и
iC=C*dU/dt, в которых из физических соображений производная не может принимать бесконечных значений
Ток через индуктивность, а в общем случае – потокосцепление I*W для нескольких индуктивностей, или энергия магнитного поля, до и после коммутации одинаковы.
Напряжение на емкости, а в общем случае – накопленный на конденсаторах электрический заряд, до и после коммутации одинаковы.

Начальные значения на реактивных элементах, определяемые из законов коммутации, будут независимыми, тогда как на остальных элементах цепи – зависимыми, поскольку будут определяться из независимых начальных условий.
После завершения переходного процесса при t→∞, снова наступает стационарное состояние. Соответствующие ему токи и напряжения в цепи принято называть принужденными, поскольку они вызваны действием источников энергии. Еще их называют установившимися
Свободные токи и напряжения – это абстрактные составляющие токов и напряжений, равные разнице между принужденными значениями и фактически действующими токами и напряжениями в цепи. Обусловлены собственными колебаниями энергии в конденсаторах и индуктивностях цепи, возникающими за счет перехода от одного стационарного состояния цепи к другому. В начале переходного процесса, как правило, их значения максимальны, а в конце – стремятся к нулю.
Общий подход к решению:
выбор направлений токов в цепи и определение начальных докоммутационных значений.
определение начальных послекоммутационных независимых значений для реактивных элементов с помощью основных законов коммутации
Дальнейший расчет будет зависеть от выбранного метода (см.предыдущий и следующие слайды)

Электротехника.
Классический метод расчета: основные формулы
Алгебраизация – замена n-х производных

по времени на параметр pn
Корни находятся из характеристического уравнения p2+(R/L)p+(1/LC)=0 и могут быть кратными или
комплексно сопряженными, но не могут быть положительными, поскольку при t ∞ i св0.
Постоянные интегрирования A1, A2 находят из начальных условий, которые определяют с помощью законов
коммутации для t=0+.

В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n реактивными элементами, имеет вид

Электротехника.
Алгоритм для классического метода расчета
Алгоритм расчета:
Рассчитать режим до коммутации.

Определить токи в ветвях с индуктивностью и напряжения на конденсаторах. Значения этих величин в момент коммутации являются независимыми начальными условиями.
Рассчитать принужденный (установившийся) режим при t→∞: найти выражения для принужденных значений токов и напряжений при t∞ и определить их значения. Можно делать после п.п.7
Используя независимые начальные условия, определить необходимые зависимые начальные условия (токи и/или напряжения на активных сопротивлениях) –
Составить дифференциальные уравнения для свободного процесса (Е = 0) в схеме после коммутации по законам Кирхгофа или по методу контурных токов.
Алгебраизировать данные уравнения (заменив на рn производные n-го порядка ), получить характеристическое уравнение и найти его корни.
Записать общие выражения для свободной составляющей искомых напряжений и токов в соответствии с видом корней характеристического уравнения. Обычно это выражения для токов в одной или нескольких ветвей.
Переписать величины, полученные в предыдущем пункте, и производные от них для случая t = 0.
Найти необходимые значения для свободных составляющих и их производных в t=0+ как разность между начальными условиями и выражениями для принужденных составляющих в t=0+.
Приравняв полученные на предыдущем шаге значения значениям выражений для свободных составляющих и их производных в t=0, найти постоянные интегрирования.
Записать законы изменения искомых токов и напряжений, сложив выражения для свободной и принужденной составляющих.

Методы нахождения характеристического уравнения
Для составления характеристического и нахождения его корней можно использовать следующие методы:
Путем непосредственного нахождения из законов Кирхгофа искомых токов и/или напряжений
После записи системы из n уравнений для случая нулевых источников (однородная система уравнений вида ΣUi=0 и Σii=0 по законам Кирхгофа) приравниваем нулю ее определитель: Δ=0
Через приравнивания нулю входного сопротивления двухполюсника, в котором jω заменены на p

Электротехника.
Выражения свободных составляющих общего решения
Постоянная времени 1/p – это

время, в течение которого свободная составляющая процесса уменьшается в е = 2,72 раза по сравнению с начальным значением

Электротехника.
Примеры классических методов расчета для R-L - цепей
1. Короткое

замыкание в цепи с резистором и катушкой

Начальное условие: i(0- ) = i(0+ ) = E / (Rвн + R)
Установившийся ток (принужденная составляющая) iуст=0

Уравнение для свободной составляющей:

Характеристическое уравнение: pL + R = 0, его корень p=-R/L
Решение для свободной составляющей: iсв=i0· e-t/τ , где τ =-L/R – постоянная времени
Из начального условия i0=i(0), откуда i=icв+iуст=E/(Rвн+R)·et/τ

2. Подключение катушки к источнику напряжения

Начальное условие: i(0- ) = i(0+ ) = 0
Установившийся ток (принужденная составляющая) iуст=Е/R

Уравнение для свободной составляющей:

Характеристическое уравнение: pL + R = 0, корень p=-R/L=-1/τ, где τ =-L/R – постоянная времени

Решение для свободной составляющей: iсв=i0· e-t/τ
Из начального условия i(0) =iуст+iсв(0)=0 находим, что i0=-E/R
Тогда i=icв+iуст=E/R·(1-e-t/τ)

Электротехника.
Примеры классических методов расчета для R-C - цепей
1. Короткое

замыкание в цепи с резистором и конденсатором

2. Подключение конденсатора к источнику напряжения

Электротехника.
Примеры классических методов расчета для R-L-C - цепей
p1,2 = -α

± jω,

Электротехника.
Подключение R-L-C цепи к источнику напряжения

Электротехника.
Коммутации на переменном токе

Электротехника.
Другие примеры коммутируемых цепей: качественный анализ

Электротехника.
Операторный метод расчета п.п.
Сущность операторного метода заключается в том,

что функции   вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением

Порядок решения:
Заменяем схему с учетом ненулевых независимых начальных условий
Находим решение любым из рассмотренных ранее методов для интересуемых участков цепи в виде функции комплексной переменной р.
Находим для полученного решения оригинал

Прямое преобразование Обратное преобразование Условные обозначения

Электротехника.
Свойства изображений и их виды
Свойства изображений:

Изображение суммы функций

равно сумме изображений слагаемых


При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:


Выражения изображений для производной и интеграла от функции:



Другие преобразования: теорема сдвига и теорема о свертке

Электротехника.
Переход от изображений к оригиналам
Варианты нахождения оригиналов:

Через обратное

преобразование по формуле
Через таблицы соответствия
По формуле разложения путем представления решения в виде суммы простых дробей:

Коэффициенты Ак находятся по формулам на основе правила Лапиталя

Так как - это const, a получим, что

Если есть нулевой корень, то

Электротехника.
Расчет п.п.через интеграл Дюамеля

П.Д. – пассивный двухполюсник
Зная реакцию

цепи на единичное возмущающее воздействие, т.е. функцию переходной проводимости  g(t) или (и) переходную функцию по напряжению h(t) , можно найти реакцию цепи на воздействие произвольной формы. В основе метода – метода расчета с помощью интеграла Дюамеля – лежит принцип наложения.

Электротехника.
Магнитные цепи
Закон (принцип) непрерывности магнитного потока: поток вектора магнитной

индукции через замкнутую поверхность равен нулю

Закон полного тока: циркуляция вектора напряженности вдоль произвольного контура равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром

U=Гн/м, F=A, Rм=1/Гн, Ф=Вб, H=A/м, B=Тл

Электротехника.
Пример магнитной цепи
Неразветвленая цепь Разветвленная цепь