10.04 Признаки равенства прямоугольных треугольников

равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то

Первый признак равенства треугольников

А

С

В

А1

С1

В1

угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к

А

С

В

А1

С1

В1

треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема (о равенстве прямоугольных треугольников по

Доказательство.

А

С

В

А1

С1

В1

АС = А1С1,

ВС = В1С1,

∠ С = ∠ С1 = 90°.

Получаем, что ∆ АВС = ∆ А1В1С1

(по первому признаку).

Теорема доказана.

углу)
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного

Доказательство.

АС = А1С1,

∠ А = ∠ А1,

∠ С = ∠ С1 = 90°.

Получаем, что ∆ АВС = ∆ А1В1С1

(по второму признаку).

Теорема доказана.

гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе

Доказательство.

∠ С = ∠ С1 = 90°,

АВ = А1В1,

∠ А = ∠ А1.

∠ А + ∠ В = 90°,

∠ А1 + ∠ В1 = 90°,

∠ В = 90° – ∠ А,

∠ В1 = 90° – ∠ А1,

∠ В = ∠ В1.

Следовательно, ∆ АВС = ∆ А1В1С1

(по второму признаку).

Теорема доказана.

и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету

Доказательство.

А

С

В

А1

С1

В1

∠ С = ∠ С1 = 90°,

АВ = А1В1,

АС = А1С1.

∆ В1АВ – равнобедренный,

АС – высота,

медиана.

То есть В1С = СВ.

Следовательно, ∆ АВС = ∆ А1В1С1

(по двум катетам).

Теорема доказана.

( )

( )

отрезок ОА равен отрезку ОВ. Докажите, что отрезок СА равен

Доказательство.

А

С

В

D

O

∆ АСО, ∆ BDO – прямоугольные.

∠ АОС = ∠ ВОD (как вертикальные).

АО = ОВ,

Тогда ∆ АСО = ∆ BDO

(по катету и острому углу).

– прямые, а отрезки АD и A1D1 – биссектрисы. Докажите,

Доказательство.

А

С

В

А1

С1

В1

D

D1

∆ АСD, ∆ A1C1D1 – прямоугольные.

АD = А1D1,

∠ СAD = ∠ C1A1D1

Тогда ∆ АСD = ∆ A1C1D1

(по гипотенузе и острому углу).

Следовательно, АС = А1С1.

Тогда ∆ АВС = ∆ A1В1С1.