1_14.ppt

Конечные кластеры и трансляционная инвариантность

с периодическими граничными условиями для того, чтобы все узлы системы

были эквивалентными
Для конкретных случаев может быть выбрана и другая, необязательно периодическая, геометрия кластера (периодическая геометрия кластера называется также геометрией тора). Используют также антипериодические граничные условия, свободные, или нулевые, граничные условия и другие варианты геометрии кластеров

кластера
Вектор трансляции на пространственной периодической структуре:

Периодическая структура с определенным на

ней вектором трансляции называется решеткой Бравэ
Векторы трансляции полностью определяют пространственную решетку Бравэ
Оператор трансляции:

Свойство оператора трансляции:

общая система собственных функций для гамильтониана и оператора трансляций:

В общем

случае для каждого базисного вектора решетки:

Для вектора трансляции имеем:

Вектор k определен с точностью до вектора g:

Множество таких векторов можно представить в виде разложения

выбираются в виде:


Для простой кубической решетки:


Базисные вектора обратной решетки ортогональны

базисным векторам прямой решетки:

Оператор трансляций может быть записан в виде:

Оператор трансляции унитарен:

представить как произведение экспоненциального множителя на периодическую функцию (теорема Блоха):

Граничные

условия Борна – Кармана:

Разрешенные значения блоховского волнового вектора k действительны:

Для простой кубической решетки:


Решение задачи Шредингера, которое удовлетворяет трансляционной инвариантности, следует искать в виде блоховской волновой функции, при этом вектор k является одним из разрешенных векторов обратной решетки

описываемая моделью Бозе – Хаббарда. Узельный базис состоит из 20

функций:




Сортировка базисных функций на классы; в каждом классе узельные функции порождаются производящей функцией:

Имеем пять классов по четыре функции:

виде комбинаций периодической функции и экспоненциального множителя:




Коэффициенты определяются из условия

ортонормированности:


Новый базис представляет собой блочную структуру, пронумерованную по разрешенным векторам обратной решетки (или секторам импульса). Гамильтонова матрица в новом базисе будет блочно-диагональной:

трансляционной симметрии гамильтониана и узельных функций:


Матричные элементы от диагональной части

гамильтониана:

Все матричные элементы недиагональной части гамильтониана внутри блока в общем случае являются ненулевыми, в том числе и элементы на главной диагонали:

о системе – численный спектральный анализ
Модель Бозе – Хаббарда для

системы из 4
узлов и 3 частиц:



Сортировка собственных состояний по
секторам импульса позволяет проанализировать
спектр одночастичных и многочастичных
возбуждений
1 – суперпозиция однофононных состояний с
импульсом ±k0; 2 – суперпозиция двухфононных
состояний {k0, k0} и {–k0, –k0} ; 3 – двухфононное
состояние {k0, –k0}; 4 – суперпозиция
сверхтоковых состояний