2_03.ppt

Почти линейное распределение. Двумерные распределения
2.3. Случайные распределения

физике
Современное описание квантовых систем имеет исключительно вероятностный характер
Три фундаментальных распределения
Распределение

Больцмана:

Распределение Ферми – Дирака:


Распределение Бозе – Эйнштейна:


При численном моделировании квантовых систем часто возникает необходимость получать случайные величины с заданным законом распределения, причем существенным моментом при этом является эффективность алгоритма с точки зрения временных затрат

F-1(y), такая, что если 0

тогда, когда x=F-1(y). Тогда искомое распределение с плотностью f(x) (R равномерно распределено на (0,1)):

каждое из которых может произойти в любой момент

ее плотность распределения ограничена:

Генерируются два случайных числа R1, R2, равномерно

распределенные на (0,1), и строится точка на плоскости с координатами

Если эта точка лежит ниже кривой
y=p(x), то искомое число найдено:


Если точка лежит выше кривой,
сгенерированная пара отбрасывается

Гаусса, играет исключительно важную роль в физике. Главная особенность, выделяющая

нормальный закон среди других законов распределения, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при достаточно часто встречающихся типичных условиях
Сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничений), приближенно подчиняется нормальному закону
Нормальный закон распределения:

при помощи алгоритма:

закрашенную область, имеют почти линейную плотность распределения

случайных величин. Система двух случайных величин (X,Y) геометрически интерпретируется как

случайная точка с этими координатами на плоскости xy
Функция распределения системы двух случайных величин:

Геометрически функция распределения
интерпретируется как вероятность
попадания случайной точки (X,Y)
в закрашенную область, ограниченную
снизу и слева только областью
определения случайных величин X и Y:

величин:


Пример

Сначала генерируем случайную величину

Функция распределения случайной величины z:

По методу обратной

функции:

x распределена равномерно на интервале (0,1–z)
Искомая система случайных величин:


R1, R2

– независимые случайные величины, распределенные равномерно на (0,1)
Вдоль линий y–x=const распределение, с точностью до статистического разброса, является равномерным
Для генерации двумерных распределений случайных величин справедлив и метод фон Неймана