Трёхшарнирные системы.Лекция 2.PPT

ТШС
ТШС
с затяжкой



A
A
D
HA
HD
VA
VD
NAB
M
M
N
N
Q
Q
n
t
Σ nотс = 0 ,
Σ t отс = 0

,
Σ mотс = 0

σ

τ

σ = σM + σN

M
M + dM
dθ
ds
r
qn
qt
ds = r * dθ
n
t

Σ n =

0 ,
Σ t = 0 ,
Σ m = 0

вертикальной нагрузки










C
A
B
x
f

VB

y

θ(x)
VA
HA
HB
a
b
x
y(x)
l
Σ x = 0
HA = HB = H

Опорные

реакции трехшарнирной
арки (рамы)

Σ mA = 0

VB = Σ mA,F / l

Σ mB = 0

VA = Σ mB,F / l

A0

VA0

l

VB0

B0

C0

VA0 = Σ mB0,F / l

VB0 = Σ mA0,F / l

Опорные
реакции балки

VA = VA0

VB = VB0

H = MC0 / f

Опорные реакции трёхшарнирной
арки (рамы)

(опоры на одном уровне)

вертикальной нагрузки

y

θ(x)
VA
H
x
y(x)
x
A
M(x)
N(x)
Q(x)
A0
VA0
Q0(x)
M0(x)
M(x) = VA* x +Σ mF,oтc –

H* y(x)

M0(x)

M(x) = M0(x) – H* y(x)

Q(x) = (VA+Σ yF,oтc ) * cos θ(x) – H* sin θ(x)

Q0(x)

Q(x) = Q0(x) * cos θ(x) – H* sin θ(x)

N(x) = – (VA+Σ yF,oтc )* sin θ(x) – H* cos θ(x)

Q0(x)

VA0= VA

N(x) = – [ Q0(x)* sin θ(x) + H* cos θ(x) ]

(опоры на одном уровне)

Примечание:
в вершине арки,
где θ(x) = 0:
Nверш = – H; Qверш = Q0

разных уровнях
при действии вертикальной нагрузки

M(x) = M0(x) – H/*

y1(x)

Q(x) = Q0(x) * cos θ(x) – H/* sin [θ(x) – α0]

N(x) = – { Q0(x)* sin θ(x) + H/* cos [θ(x) – α0]}

C

B

x

f /

VB/

y

θ(x)

H/

a

b

x

y1(x)

l

H/

α0

A

VA/

VA/ = VA0

VB/ = VB0

Опорные
реакции

H/ = MC0 / f /

y1(x) = y(x) cos α0 – x sin α0

разных уровнях
при действии вертикальной нагрузки

M(x) = M0(x) – H/*

y1(x)

Q(x) = Q0(x) * cos θ(x) – H/* sin [θ(x) – α0]

N(x) = – { Q0(x)* sin θ(x) + H/* cos [θ(x) – α0]}

C

B

x

f /

VB/

y

θ(x)

H/

a

b

x

y1(x)

l

H/

α0

A

VA/

VA/ = VA0

VB/ = VB0

Опорные
реакции

H/ = MC0 / f /

y1(x) = y(x) cos α0 – x sin α0

Вариант:

H

VA

H

VB

H = MC0 / f

f

M(x) = M0(x) – H* y*(x)

y*(x)

Q(x) = Q0(x) * cos θ(x) – * sin [θ(x) – α0]

N(x) = – { Q0(x)* sin θ(x) + * cos [θ(x) – α0]}

MC 0 / f
H * y (x)

f




M
M = M0 –

H * y (x)

При другом
очертании оси:

F

A

B

C

MC 0

Больше, чем
в исходном случае

м
4 м
12 м
12 м
6 м
VA = 370 кН
VB = 430

кН

H = 396 кН

H

Окружность

F2 = 80 кН

123,90

M

(кН* м)

125,99

0,00

78,01

0,00

Q

(кН)

58,40

101,78

39,25

48,17

34,00

18,45

59,73

13,59

29,60

58,80

N

(кН)

533,6

538,8

532,3

414,9

404,3

414,0

396,0

400,4

458,1

517,2

581,6

F1 cos θF1

F1 sin θF1

78,00

19,32

101,23

F2 cos θF2

426,1

F2 sin θF2

y

42,00

0,00

140,10

94,80

θF1

θF2

м
4 м
12 м
12 м
6 м
H = 396 кН
H

Окружность
F2 = 80

кН

y

Парабола

123,90

M

(кН* м)

0,00

0,00

0,00

Q

(кН)

94,80

101,78

48,17

59,73

58,80

N

(кН)

533,6

396,0

581,6

F1 cos θF1

F1 sin θF1

78,00

101,23

F2 cos θF2

F2 sin θF2

42,00

140,10

222,00

160,00

111,49

541,6

396,0

584,1

VA = 370 кН

VB = 430 кН

м
4 м
12 м
12 м
6 м
H = 396 кН
H

Окружность
F2 = 80

кН

y

Парабола

123,90

M

(кН* м)

0,00

0,00

0,00

78,00

42,00

140,10

222,00

160,00

Для
сравнения:
M0,max =
= 2394 кН*м

A0

VB0

B0

VA0

F1

F2

q

VA = 370 кН

VB = 430 кН

1480

2130

2004

M0,max

M0

(кН* м)

– безмоментность:
М(х) = 0
Рациональное очертание оси при вертикальных нагрузках:

M(x) = M0(x) – H * y (x) = 0

П р и м е р

A

В

M0(х)

A

В

С

П р я м а я

П р я м а я

П р я м а я

Пр я м а я

– безмоментность:
М(х) = 0
Рациональное очертание оси при равномерной
гидростатической нагрузке (

qn = const , qt = 0 )

qn = const

Из дифференциальных уравнений равновесия:

r = const – окружность

функция –
объём материала арки
f
V ( f )


fopt
V min

Результаты оптимизации

с ограничением по прочности

реакций






1
1
Л.В. VA = Л.В. VA0
Л.В. VB = Л.В. VB0

Л.В. H

a*b / ( f*l )

K

Линия влияния изгибающего момента

MK(x) = M0K(x) – H(x) * yK

Л.В. MK =
= Л.В. M0K –
– yK * Л.В. Н

момента
MK(x) = M0K(x) – H(x) * yK

Л.В. MK

=
= Л.В. M0K –
– yK * Л.В. Н

yK * a * b / ( f * l )

Л.В. M0K

Л.В. Н * yK

b* xK / l

( xK / l )* (l – xK – yK * b / f )

( b / l )* ( xK – yK * a / f )

Л.В. MK

K

yK * xK * b / ( f * l )

симметричной арки
равномерно распределённой вертикальной нагрузкой



Л.В. MK
K
l /2
q
q
MK,max
MK,min

?



q
q
Загружение
на MK,max
Загружение

на MK,min

В ы в о д:
приближённо

0,4 l от опоры,
ближайшей к сечению

0,6 l от противо-положной опоры

силы

Л.В. QK =
= cos θK

* Л.В. Q0K –
– sin θK * Л.В. Н

sin θK * a * b / ( f * l )

Л.В. Q0K * cos θK

Л.В. Н * sin θK

( b / l )* cos θK

sin θK * xK * b / ( f * l )

( xK / l )*[cos θK +( b / f ) * sin θK ]

( b / l )*[ cos θK – ( a / f ) * sin θK]

Л.В. QK

cos θK

cos θK

QK (x) = Q0K (x) * cos θK – H(x) * sin θK

K

силы
NK (x) = – [ Q0K (x) * sin θK

+ H(x) * cos θK]

Л.В. NK =
= – sin θK * Л.В. Q0K –
– cos θK * Л.В. Н

cos θK * a * b / ( f * l )

Л.В. Q0K * sin θK

Л.В. Н * cos θK

( b / l )* sin θK

cos θK * xK * b / ( f * l )

( xK / l )*[sin θK – ( b / f ) * cos θK]

– ( b / l )*[sin θK + ( a / f ) * cos θK]

Л.В. NK

sin θK

sin θK

K

метод)



1
2
(10) =
(12) =


C

(20)
f * l / a
(20) = (21)(10) +

О.С.

C

метод)



1
2
(10) =
(12) =


C



δH
(20)
f * l / a




dθ2
dθ2

δH = dθ2* f

* l /a

dθ2 = δH *a /(f * l)

dθ2

δF (x) < 0

Эпюра δF

dθ2* b

Л.В. Н

b*a /(f * l)

(20) = (21)(10) + О.С.

изгибающего момента
K



MK

1

2

3
(10) =
= (30)
= (23)
(12) =

=
(20) = (21)(10) + (23)(30)
Линия влияния изгибающего момента

tg ψ =

f / b

tg ξ = yK / xK

δM

Эпюра δF

MK (x)

Л.В. MK

1

xK

поперечной силы
θK
K
xK
yK
QK

= f / b
θK
QK


C
= (23)
(20) = (21)(10) + (23)(30)
Линия влияния

поперечной силы

ψ = f / b
(20) = (21)(10) + (23)(30)
Линия влияния

поперечной силы

cos θK

Л.В. QK

θK
Л.В. QK

C
(20)
tg ψ = f / b
(20) = (21)(10)

+ (23)(30)

Линия влияния поперечной силы

продольной силы
θK

K
xK
yK

(30)
= (23)
(12)

(20)
(20) = (21)(10) + (23)(30)


θK
NK
Линия влияния продольной

силы

tg ψ = f / b

uN

sin θK

Л.В. NK

ψ

(30)
= (23)
(12)


(20)
(20) = (21)(10) + (23)(30)


θK
NK
Линия влияния продольной

силы

tg ψ = f / b

uN

sin θK

Л.В. NK

K

xK

yK

ψ

е в о п р о с ы
( в

скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы;
для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*);
для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши
и выбрать «Перейти к слайду 30» )
1. Какие усилия возникают в произвольном сечении арки? ( 2 )
2. Дифференциальные уравнения равновесия элемента криволинейного стержня. ( 3 )
3. Как определяются вертикальные составляющие опорных реакций
трёхшарнирной арки с опорами на одном уровне в случае вертикальной нагрузки? ( 4 )
4. Как зависит распор трёхшарнирной арки от стрелы подъёма? ( 4 )
5. Почему ключевой шарнир трёхшарнирной арки располагают обычно в её вершине? ( 4 )
6. Формула для изгибающих моментов в трёхшарнирной арке при вертикальной
нагрузке. ( 5 )
7. Изгибающие моменты в арке больше или меньше моментов в балке того же пролёта
при той же вертикальной нагрузке? Почему? ( 5 )
8. Формула для поперечных сил в трёхшарнирной арке при вертикальной нагрузке. ( 5 )
9. Формула для продольных сил в трёхшарнирной арке при вертикальной нагрузке. ( 5 )
10. Особенности очертания эпюр ВСФ в трёхшарнирных арках.
11. Как используются дифференциальные зависимости между усилиями
в криволинейном стержне для построения и проверки эпюр ВСФ в арке?
12. Какую особенность имеет эпюра Q в арке в месте приложения сосредоточенной
силы F ?
13. Какую особенность имеет эпюра N в арке в месте приложения сосредоточенной
нагрузки F ?
14. Чему равна поперечная сила в сечении в вершине арки? ( 5 )
15. Чему равна продольная сила в сечении в вершине арки? ( 5 )
16. Почему трёхшарнирная арка экономичнее по расходу материала,
чем балка того же пролёта? ( самостоятельно )
17. Что такое арка рационального очертания? ( 11 )
____________________________________________________________
*) Только в режиме «Показ слайдов»

самостоятельно

е в о п р о с ы
( в

скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы;
для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*);
для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши
и выбрать «Перейти к слайду 31» )
18. Главное свойство арки рационального очертания. ( 11 )
19. Какие усилия возникают в арке рационального очертания? ( 11 )
20. Каково рациональное очертание оси арки при равномерно распределённой
по всей её длине гидростатической нагрузке? ( 12 )
21. Уравнение оси арки рационального очертания при вертикальной нагрузке. ( 11 )
22. Каково рациональное очертание оси арки при равномерно распределённой
по всему пролёту вертикальной нагрузке? ( самостоятельно, по аналогии с ( 11 ) )
23. Какое очертание оси арки – параболическое или эллиптическое – выгоднее
при вертикальных нагрузках, приложенных вблизи от опор? ( самостоятельно )
24. Какой вид имеет линия влияния распора трёхшарнирной арки с опорами
на одном уровне? ( 14 )
25. Какой вид имеет линия влияния изгибающего момента в произвольном сечении
трёхшарнирной арки? ( 22 )
26. Какой вид имеет линия влияния поперечной силы в сечении арки, расположенном
слева (справа) от ключевого шарнира? ( 25 ) слева (справа) от ключевого шарнира? ( 25 ) ( 26 )
27. Чему равен скачок на Л.В. Q в сечении трёхшарнирной арки? ( 25 ) в сечении трёхшарнирной арки? ( 25 ) ( 26 )
28. Какой вид имеет линия влияния продольной силы в сечении арки левее ( правее )
ключевого шарнира? ( 28 ) ключевого шарнира? ( 28 ) ( 29 )
29. Чему равен скачок на Л.В. N в сечении трёхшарнирной арки? ( 28 ) в сечении трёхшарнирной арки? ( 28 ) ( 29 )
30. Какое загружение равномерно распределённой нагрузкой для симметричной арки
более опасное – по всему пролёту или по его половине? ( 16 )
31. При каком загружении трёхшарнирной арки равномерной временной нагрузкой
в её сечениях возникают наибольшие по абсолютной величине продольные силы?
( самостоятельно )
_____________________________________________________
*) Только в режиме «Показ слайдов»