Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Метод вариации произвольных постоянных Линейные неоднородные ДУ второго поря
Содержание
- 1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Метод вариации произвольных постоянных Линейные неоднородные ДУ второго поря
- 2. Линейные неоднородные дифференциальные уравненияРассмотрим линейное неоднородное ДУ
- 3. Метод вариации произвольных постоянныхЧастное решение у* уравнения
- 4. Метод вариации произвольных постоянныхОпределитель системы:4/16так как это
- 5. Метод вариации произвольных постоянных5/16Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:Найдем частное решение исходного уравнения:Составим систему:
- 6. Метод вариации произвольных постоянных6/16Решим систему методом Крамера:
- 7. Метод вариации произвольных постоянных7/16Запишем частное решение уравнения:Следовательно, общим решением уравнения будет:
- 8. ЛНДУ второго порядка с правой частью специального
- 9. ЛНДУ второго порядка с правой частью специального
- 10. ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида10/16
- 11. ЛНДУ второго порядка с правой частью специального
- 12. ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида12/16Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:Общее решение исходного уравнения:
- 13. ЛНДУ второго порядка с правой частью специального
- 14. ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида14/16
- 15. ЛНДУ второго порядка с правой частью специального
- 16. ЛНДУ второго порядка с правой частью специального
- 17. Скачать презентанцию
Линейные неоднородные дифференциальные уравненияРассмотрим линейное неоднородное ДУ (ЛНДУ) второго порядка:2/16Уравнение:Теорема 1(1)левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (1), называется соответствующим ему однородным уравнением.(2)Общим решением y уравнения (1) является сумма его
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1Дифференциальные уравнения высших порядков
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
Метод вариации произвольных постоянных
Линейные
неоднородные ДУ второго порядка с правой частью специального вида
Слайд 2Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
Рассмотрим линейное неоднородное ДУ (ЛНДУ) второго порядка:
2/16
Уравнение:
Теорема
1
(1)
левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (1), называется
соответствующим ему однородным уравнением.(2)
Общим решением y уравнения (1) является сумма его произвольного частного решения y* и общего решения
y = C1y1+C2y2 , соответствующего ему однородного уравнения:
( о структуре общего решения ЛНДУ)
Слайд 3Метод вариации произвольных постоянных
Частное решение у* уравнения (1) можно найти,
если известно общее решение соответствующего однородного уравнения методом вариации произвольных
постоянных (метод Лагранжа).3/16
Пусть
- общее решение уравнения (2)
Заменим в общем решении постоянные С1 и С2 на неизвестные функции С1(х), С2(х) :
Чтобы функция (3) была решением уравнения (1), необходимо чтобы функции С1(х), С2(х) удовлетворяли системе уравнений:
(3)
(4)
Слайд 4Метод вариации произвольных постоянных
Определитель системы:
4/16
так как это определитель Вронского для
фундаментальной системы частных решений уравнения (2).
Поэтому система (4) имеет единственное
решение:Интегрируя функции
находим С1(х), С2(х)
а затем по формуле (3) составляем частное решение уравнения (1).
Слайд 5Метод вариации произвольных постоянных
5/16
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Найдем частное
решение исходного уравнения:
Составим систему:
Слайд 7Метод вариации произвольных постоянных
7/16
Запишем частное решение уравнения:
Следовательно, общим решением уравнения
будет:
Слайд 8ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида
Рассмотрим ЛНДУ второго
порядка с постоянными коэффициентами:
8/16
(5)
Согласно теореме 1, общее решение этого уравнения
ищется в виде:Для уравнений с постоянными коэффициентами существует более простой способ нахождения y*, если правая часть уравнения f(x) имеет так называемый специальный вид:
Слайд 9ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида
Суть метода, называемого
методом неопределенных коэффициентов, заключается в следующем: по виду правой части
f(x) уравнения (5) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (5) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.9/16
Правая часть имеет вид:
Уравнение (5) запишется в виде:
Частное решение ищем в виде:
где r – число, равное кратности α как корня характеристического уравнения;
записанный с неопределенными коэффициентами
- многочлен степени n,
Слайд 11ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида
11/16
Найти общее решение
уравнения:
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Найдем частное решение исходного уравнения:
Подставим
в
исходное уравнение:
Слайд 12
ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида
12/16
Приравняем коэффициенты при
одинаковых степенях x:
Общее решение исходного уравнения:
Слайд 13ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида
13/16
Правая часть имеет
вид:
Частное решение ищем в виде:
где r – число, равное кратности
α + iβ как корня характеристического уравнения;неопределенными коэффициентами, где l - наивысшая степень многочленов P и Q, то есть:
- многочлены степени l, записанные с
Слайд 15
ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида
15/16
Найти общее решение
уравнения:
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Найдем частное решение исходного уравнения:
Число
является
корнем хар. уравнения, поэтому r = 1
Слайд 16
ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида
16/16
Подставим
в исходное уравнение:
Приравняем
коэффициенты при sin x и при cos x
