Динамика точки

А.А. Курс теоретической механики. Часть 2.
3. Цывильский В.Л. Теоретическая

Задачники
1. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике.
2. Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Часть 2.

Пособия
Теоретическая механика. Ч3 (1) – Динамика точки. Методические указания по выполнению расчетно - графических работ для студентов дневной формы обучения специальности АДиА

–
учение о движении
инертность тел
Д И Н А М И

Силы

постоянные

зависят от положения тела

переменные

зависят от времени

зависят от скорости

Для переменных сил справедливы все положения статики.

активные (заданные) силы

реакции связей (реактивные) силы

Статика –
учение о силах

+

величина, называемая массой тела.
Свойства массы в классической механике. В

Понятие инертности. Инертность тела проявляется в том, что оно сохраняет свое движение при отсутствии действующих сил, а когда на него начинает действовать сила, то скорости точек тела изменяются не мгновенно, а постепенно и тем медленнее, чем больше инертность этого тела.

принятия материального тела в качестве материальной точки
Материальное тело можно рассматривать

воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного

Аристотель –
движение тел происходит только под действием сил

Галилей –
движение тел может происходить по инерции

Понятие инерциальных систем отсчета
Система отсчета, в которой справедлив закон инерции, называется инерциальной.

выражается равенством
Второй закон (основной закон динамики)
Произведение массы материальной точки

Для несвободной материальной точки закон имеет вид

где

сумма реакций связей.

В случае двух сил

основной закон динамики имеет вид

по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в

Третий закон
(закон равенства действия и противодействия)

Закон использовался в статике в виде аксиомы действия и противодействия.

точки, определить действующую на нее силу;
2 задача. Зная действующие на

2 (основная) задача динамики распадается на две и состоит в том, чтобы, зная действующие на точку активные силы, определить: а) закон движения точки, б) реакцию наложенной связи.

Для несвободной материальной точки

1 задача динамики обычно состоит в том, чтобы, зная движение точки и действующие на нее активные силы, определить реакцию;

от друга систем единиц.
Системы типа СИ
В основе единицы: длины,

Система МКГСС
В основе единицы: длины, времени и силы.

Основные единицы:
метр (м), секунда (с)
килограмм массы (кг).

Основные единицы:
метр (м), секунда (с),
килограмм силы (кГ).

Производная единица – сила 1 Н = 1кг м/с2.

Производная единица – масса 1 кг = 1кГ с2 / м.

Соотношение между единицами силы с системах СИ и МКГСС 1 кГ = 9,81 Н или 1 Н = 0,102кГ.

и т.д.
Сила тяжести Р = m g
Сила трения

Сила упругости
F = c λ

Сила вязкого трения
F = μ ν

Постоянная сила, действующая на любое тело, находящееся вблизи земной поверхности.

Сила трения скольжения, действующая на движущееся тело.

Значение силы упругости определяется из закона Гука, согласно которому напряжение пропорционально деформации.

Сила, зависящая от скорости, действует на тело при его медленном движении в очень вязкой среде.

f2(t), z = f3(t)
Определить силу
2 задача
Дано: сила (силы)
Определить
х =

в декартовых координатах
Второй закон динамики
В проекциях на оси

Это дифференциальные уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах.

Правые части могут функциями переменных t, х, у, z,

трехгранника М τn b :
М τ - касательная;
М n

Второй закон динамики

В проекциях на оси естественного трехгранника М τn b :

Это дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника.

Здесь учтено, что

Действующая сила находятся из уравнения.


Реакция связи - из уравнения,
дополнительно

Известны уравнения движения точки
х = f 1 (t), у = f 2 (t), z = f 3 (t).

Силы находятся из дифференциальных уравнений движения точки.

Р начинает подниматься с ускорением а.

Определить натяжение троса Т.
Решение.
Второй

В проекции на вертикаль получим
Р/g · а = Т – Р.

Или Т = Р( 1 + а / g).

Если лифт опускается с тем же ускорением, то Т = Р( 1 - а / g).

задачи при прямолинейном движении точки
Дифуравнение движение точки одно

Уравнение

C математической точки зрения в виде

Общее решение дифуравнения – х = f ( t, C1 , C 2 ), где С1 и С2 – постоянные интегрирования. Находятся из начальных условий.

При прямолинейном движении начальные условия имеют вид: при t = 0 х = х0 Vx = V0.

После нахождения С1 и С2 частное решение уравнения будет иметь вид х = f (t, x0, V0).

движении точки.
Задача. Груз весом Р начинает двигаться из состояния

значение которой растет по закону F =k t.

Определить закон движения груза.

Решение. (Действуем по следующему алгоритму)

1. Выберем начало отчета, совместив его с начальным положением точки.

2. Проведем координатную ось, направленную в сторону движения.

3. Изобразим точку (груз) в произвольном положении.

основное уравнение динамики применительно к данной задаче в векторном виде

4. Приложим к точке все действующие на нее силы.

7. Преобразуем дифференциальное уравнение к виду, удобному для интегрирования:

8. Запишем начальные условия: при t = 0 x0 = 0 Vx0 = 0 .

9. Проинтегрируем дифференциальное уравнение и определим постоянные интегрирования.

и справа, найдем

Подставляя в равенство ( * ) первое из начальных условий, запишем
P / g · 0 = k · 02 / 2 + С1.
Откуда следует, что С1 = 0.

Тогда выражение ( * ) представится в виде
P / g · Vx = k · t2 / 2 . (**)

Из начальных условий найдем, что С2 = 0,
Тогда искомое уравнение движения будет иметь вид
(P / g) · x = ( kg / 6 · Р ) · t3 / 6.

Интегрируя уравнение (**), получим (P/g) ·x = k ·t3 / 6 +С2.