Производная функции

факультет
Кафедра высшей математики


Математика
Лекция 6. Производная функции


Лектор: Бодряков В.Ю. E-mail:

Bodryakov_VYu@e1.ru
Поток: 1 к. ИКРиМ, 2012-2013 уч.г.



Екатеринбург - 2012

СПб.: Лань, 2007. – 448 с.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по

высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1. – М.: Айрис – Пресс, 2008. – 288 с.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 672 с.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1. СПб.: Лань, 2005. – 448 с., Ч.2, 2005. – 464 с.
Электронный ресурс: www.exponenta.ru

Рекомендуемая литература

и геометрический смысл. Дифференцируемость. Уравнение касательной и нормали к кривой
§3.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
§4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций
§5. Производные сложной и обратной функций
§6. Производные основных элементарных функций
§7. Таблица производных

Содержание лекции

используется при решении целого ряда задач математики, физики и др.

наук, в особенности при изучении скорости протекания различных процессов.
Скорость прямолинейного движения
Пусть материальная точка (м.т.) M движется вдоль некоторой прямой ℓ (см. рис.). Положение т. M можно охарактеризовать расстоянием OM = S(t) до точки отсчета O. Уравнение S = S(t) называется уравнением или законом движения м.т.

§1. Задачи, приводящие к понятию производной

M

O

v

ℓ

M′

S(t)

S(t+Δt)

ΔS

касательной и нормали к кривой

определению довольно утомительно. Поэтому на практике дифференцирование выполняют, применяя ряд

установленных ниже правил и формул.
Пусть u = u(x) и v = v(x) – две дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции.
Т е о р е м а 2. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) их производных:
(u ± v)′ = u′ ± v′.
Доказательство: Осуществляется непосредственно по определению (СРС).

§4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций

функции. Для нахождения производной сложной функции y = f(ϕ(x)) следует

производную данной функции по промежуточному аргументу yu′ = f′(u) умножить на производную ux′ = ϕ′(x) промежуточного аргумента по независимому аргументу.
З а м е ч а н и е. Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов, «вложенных» друг в друга, несколько. Так, если y = f(u), где u = ϕ(v), v = ψ(x), то
yx′ = fx′(u(v(x))) = yu′⋅ uv′⋅vx′(x).
П р и м е р 4. Найти производную: y = f(x) = (3x2 + 1)2.
Решение: По правилу дифференцирования сложной функции имеем: y′ = ((3x2 + 1)2)′ = 2⋅(3x2 + 1)⋅(3x2 + 1)′ =
= 2⋅(3x2 + 1)⋅3⋅(x2)′ = 2⋅(3x2 + 1)⋅3⋅2⋅x = 12x⋅(3x2 + 1).
Ответ: y′ = ((3x2 + 1)2)′ = 12x⋅(3x2 + 1).

§5. Производные сложной и обратной функций (продолжение)