Кинематика

способы (не причины!) описания движений и связь между величинами, характеризующими

эти движения.
МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ:
Материальная точка (МТ) – любой объект, формой и размерами которого в данной задаче (в данных условиях) можно пренебречь;
Набор конечного числа материальных точек – достаточно общая модель произвольной механической системы.
Абсолютно твёрдое тело (АТТ) – тело, форма и размеры которого при наличии тех воздействий, что описаны в условиях задачи, могут считаться неизменными. АТТ можно рассматривать как набор материальных точек с неизменными расстояниями между ними.
Тело отсчёта, жёстко связанная с ним система координат и часы образуют систему отсчёта (СО).

Положение МТ в пространстве в определённый момент времени задаётся тремя

её координатами (например, декартовыми,) или радиус-вектором :
, , . (1.1)
При движении МТ её координаты становятся функциями времени t:
, , . (1.2 а, б, в)
Аналогично,
. (1.3)
Закон движения МТ– правило, по которому можно определить её положение в любой момент времени t.
P.S. Закон движения (1.2 а, б, в) можно рассматривать как уравнения траектории, заданной в параметрическом виде (в роли параметра - время t).

, – в момент

, – перемещение за промежуток времени ,
– путь за (длина отрезка траектории),
– мгновенная скорость в момент времени ,
– мгновенная скорость в момент t2.

– касательные к траектории.
Перемещение – разностный вектор:

. (1.4)
При малых видно, что
. (1.5)
Средняя скорость
. (1.6)
Мгновенная скорость
. (1.7 а)
PS. Другой вид математической записи («точка» обозначает производную по времени)
. (1.7 б)
Средняя путевая скорость
, (1.8)
– путь, пройденный за . При получаем:

):

. (1.9)
Или

. (1.10)
Из (1.5), (1.6), (1.7а), (1.8) и (1.9), следует, что мгновенная путевая скорость совпадает с модулем вектора мгновенной скорости :
. (1.11)
Среднее ускорение за промежуток времени :

. (1.12)

Мгновенное ускорение (в момент ) :
. (1.13)
Очевидно:
. (1.14)

PS.1 Если закон движения задан, например, известна зависимость , то мы имеем о движении полную информацию, и все величины, определённые равенствами (1.6) – (1.14) легко вычисляются, точно так же, как и их проекции на декартовы оси.
PS.2 Переход и выполняется с помощью дифференцирования.

выполняется

с помощью интегрирования.
Чтобы найти по заданной , необходимо знать начальные условия ;
. (1.15)
Аналогично:
. (1.16)
Пример 1.
Пусть МТ движется с . Тогда с помощью (1.16) можно найти
. (1.17)
Интегрируя ещё раз, получаем закон движения:
. (1.18)
Это равенства, связывают кинематические величины при ускоренном
движении МТ.
Пример 2. (из школьной жизни!). Прямолинейное равноускоренное движение.





Видно, что (1.19)

, (1.20а,б)


, , (1.21а,б)


, (1.22)

(1.23)

,
Где - начальная координата и начальная скорость на
оси x.

ДВИЖЕНИИ: ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ И НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЯ.

Итак

.

При криволинейном движении ускорение материальной точки отлично от нуля, т.к. вектор скорости изменяется по величине и по направлению.
Представим вектор скорости МТ в виде

(1.24)
где
. (1.25)

т.е. – единичный вектор, направленный по скорости .
Продифференцируем уравнение (1.24),:

. (1.26)

Обозначим:
, (1.27)

. (1.28)

(1.29)
Первое слагаемое в (1.29) – касательное или тангенциальное ускорение:
при , (1.30а)
при . (1.30б)
Второе слагаемое - называется нормальной составляющей,
она нормальна, т.е. перпендикулярна, к вектору скорости (см. ниже!).

(1.31)
Рассматривая этот

треугольник как бесконечно малый сектор, имеем


. (1.32)


Но . Отсюда

. (1.33)

, направление которого указано на рисунке 1.4 – «к нам»,

– то будем иметь с учётом (1.31) и (1.33):
- векторное произведение (1.34)

Таким образом, (см. (1.31), (1.28)),
(1.35)
Следовательно, равенство (1.29) – разложение вектора ускорения на две взаимно перпендикулярные составляющие.
Далее, можно представить в виде

(1.36)

Направления , , в случае показаны на рисунке 1.5.

(1.37)

называется вектором угловой скорости.
Вектор определяет как

направление поворота, так и величину угла поворота радиус-вектора за единицу времени.
Направление движения МТ по окружности и направление связаны правилом буравчика.

СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ И УГЛОВЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ. РАДИУС КРИВИЗНЫ ПЛОСКОЙ ТРАЕКТОРИИ.
Рассмотрим

окружность радиуса r , по которой движется материальная точка (рис.1.6).
PS. . При движении против часовой стрелки направлена «к нам», по часовой – «от нас».
За время dt радиус-вектор изменится на : от значения до значения . Используя треугольники, построенные из векторов, которые показаны на рис. 1.4 и 1.6, нетрудно получить равенство, аналогичное соотношению (1.34):
. (1.40)

) есть нормальное ускорение:

. (1.43)
Тогда первое, очевидно, равно :
. (1.44)

Введём новое

определение: угловым ускорением МТ назовём величину
. (1.45)

Поделив обе части (1.40) на , будем иметь

. (1.41)

векторное произведение в (1.46) вычислим по известной математической формуле
, (1.47)

что

даёт
. (1.48)

Учитывая, что , то есть , получаем:
. (1.49)
Таким образом, в разложении (1.29)


слагаемые имеют вид:

, . (1.50 а,б)
Очевидно, нормальная составляющая ускорения – это хорошо известно из школьного курса центростремительное ускорение.
Ускорение материальной точки , движущейся по окружности, называют также полным ускорением.

переменные, характеризующие движение МТ по окружности

:
, ; (1.51а, б)
, , ; (1.52а, б, в)
, , ; (1.53а, б, в)
Здесь – проекции скорости и ускорения на вектор ,
; (1.54 а, б)
, . (1.55 а, б)
Малую окрестность точки плоской криволинейной траектории материальной точки можно рассматривать как малую дугу некоторой окружности. Радиус этой окружности – радиус кривизны траектории в окрестности данной точки, . Эта величина удовлетворяет равенству аналогичному (1.55 б).

. (1.56)