§2. Частные производные высших порядков

и , определенные на

D  xOy .
Функции и называют также частными производными первого порядка функции f(x,y)
(или первыми частными производными функции f(x,y)).
и в общем случае функции переменных x и y .
Частные производные по x и по y от и ,
если они существуют, называются частными производ- ными второго порядка (или вторыми частными производ- ными) функции f(x,y).

переменных.
Их частные производные (если они существуют) называют частными производными

третьего порядка (или третьими частными производными) функции z = f(x,y).
Продолжая этот процесс, назовем частными производными порядка n функции z = f(x,y) частные производные от ее частных производных (n – 1)-го порядка.
Обозначения аналогичны обозначениям для частных производ- ных 2-го порядка. Например:
Частные производные порядка n > 1 называют частными производными высших порядков.

Частные производные высших порядков, взятые по одному аргументу, называют иногда

несмешанными.
ПРИМЕР. Найти частные производные 2-го порядка от функции
z = x4 + 3x2y5 .
Смешанные производные порядка m (m  n), отлича- ющиеся лишь последовательностью дифференцирований, совпадают между собой.

то выражение называется



полным дифференциалом функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) и

обозначается dz(M0) или df(x0,y0).