2.30. Кинематические характеристики сферического движения. Угловая скорость и

Кинематические характеристики сферического движения. Угловая скорость и угловое ускорение

Выше показано, что твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, поворотом вокруг мгновенной оси вращения на бесконечно малый угол перемещается из данного положения в соседнее, бесконечно близкое данному. Мгновенная ось вращения представляет собой геометрическое место точек, скорости которых в данный момент равны нулю.
Угловая скорость:

с которой происходит элементарный поворот тела вокруг мгновенной оси вращения, называется мгновенной угловой скоростью.

Следует иметь в виду, что не равен производной от угла ср, так как при сферическом движении тела такого угла не существует. Мгновенная угловая скорость со должна быть задана в функции времени непосредственно. Ее можно изобразить вектором СО направленным по мгновенной оси вращения ОР так

хода часовой стрелки. При движении тела вектор СО в общем

случае изменяется и по величине, и по направлению.
Производная от СО по времени определяет вектор

называемый мгновенным угловым ускорением, или угловым ускорением тела в данный момент времени.
Направление вектора £ совпадает с направлением касательной к годографу вектора (e и изображается отложенным от точки О. Таким образом, в отличие от случая вращения вокруг неподвижной w си, направление С не совпадает с направлением w (рис. 2.50). Векторы w и e являются основными кинематическими характеристиками сферического движения тела.
2.31.Скорости точек тела, движущегося около неподвижной точки

Пусть твердое тело имеет одну неподвижную точку О. Свяжем с телом систему координат Oxyz. Эта система однозначно определяет положение рассматриваемого тела относительно неподвижной системы координат ОХ\ухгх (рис. 2.51). Положение произвольной точки М тела определяется радиус-вектором г. Если х, у, z - координаты точки М в подвижной системе координат, а I, j, к - единичные векторы этой системы, то радиус-вектор может быть представлен так:
r-xi + yj + zk. (1)

,у, и z постоянны, а векторы I, у, к являются

функциями времени, так как система координат Oxyz движется вместе с телом.
Учитывая, что:

продифференцируем по времени формулу (1), тогда:

Найдем теперь проекции скорости точки М на оси х, у и Z, для чего умножим обе части равенства (3) скалярно на I , j, к:

существует следующие шесть зависимостей:
В результате формулы (4) с учетом (6)

можно записать так:

учетом (8) можно переписать так:
(8)
(9)
(10)
Рассмотрим теперь такое векторное произведение:

вектора скорости V, следовательно


Формула (12), определяющая скорость любой точки М,

совпадает по своей форме с выражением для скоростей твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Кроме того, введенный нами вектор направлен вдоль

(12)

прямой, проходящей через начало координат, в каждой точке которой скорости точек тела в данный момент равны нулю, т.е. вдоль мгновенной оси вращения. Это следует из того, что геометрическое место точек, скорость которых равна нулю, определяется уравнением w х r = 0, что является условием коллинеарности векторов w и r.
Таким образом, скорости точек тела, имеющего одну неподвижную точку, распределяются так, как если бы тело вращалось вокруг неподвижной оси, совпадающей в данный момент с мгновенной осью вращения (рис. 2.52). По аналогии со случаем вращения твердого тела вокруг неподвижной оси назовем вектор СО вектором мгновенной угловой скорости. Модуль скорости точки М определяется равенством

u = w * h, (13)
где h - кратчайшее расстояние от точки М до мгновенной оси вращения. Вектор V перпендикулярен плоскости, проходящей через точку М и мгновенную ось ОР в сторону поворота тела.

неподвижной точки

Для определения ускорения точки М твердого тела, движущегося около неподвижной точки О, дифференцируем по времени обе части формулы (12) предыдущего параграфа. В результате получим

Понятие вектора мгновенной угловой скорости более общее, чем введенное ранее понятие вектора угловой скорости. В самом деле, в частном случае вращения, например, вокруг неподвижной оси г, имеем

Тогда из формул (8) п. 2.31 следует:

данный момент слагается из двух составляющих. Первое слагаемое называется вращательным

ускорением

Вектор вращательного ускорения авр перпендикулярен плоскости, проходящей через вектор углового ускорения и радиус-вектор точки М. Здесь следует напомнить, что вектор е не лежит на той же прямой, что и вектор СО. Поэтому вектор овр перпендикулярен не радиусу вращения h, а отрезку h1, который равен кратчайшему расстоянию от точки М до оси вектора углового ускорения. Модуль вращательного ускорения

плоскости СО и V, т.е. по кратчайшему расстоянию от точки

М до мгновенной оси вращения, причем всегда в ту сторону, откуда поворот от СО к U на наименьший угол происходит против хода часовой стрелки (рис. 2.53). Модуль осестремительного ускорения

(6)

Таким образом, формула (2) выражает следующую теорему. Ускорение точек твердого тела, движущегося вокруг неподвижной точки, равно геометрической сумме вращательного и осестремительного ускорений.

оси вращательное ускорение не будет вектором тангенциального ускорения

точки М (по касательной направлен вектор u = w х г), а значит, и вектор не будет вектором нормального ускорения точки М.

2.33. Общий случай движения свободного твердого тела

Рассмотрим движение свободного твердого тела, т.е. такого тела, которое может совершать любые перемещения в пространстве. Введем кроме неподвижной системы координат Ox1y1z1 еще и подвижную систему координат Ax2y2z2, перемещающуюся поступательно относительно осей Ох\У\2х и связанную с телом только в одной точке А, и, наконец, подвижную систему координат Oxyz, связанную с телом (рис. 2.54).

А, следовательно, в этой системе тело участвует в сферическом движении.
Для

того, чтобы задать положение тела в этой подвижной системе координат Ах2у2z2, можно, как и ранее, ввести три угла Эйлера у, ф, 0, а для определения положения относительно неподвижной системы координат - задать координаты точки . Таким образом, положение свободного твердого тела определяется шестью независимыми параметрами. Каждому моменту времени соответствует определенная совокупность этих параметров, т.е. они являются функциями времени:

Эти шесть уравнений называются уравнениями движения или законом движения свободного твердого тела. Первые три из этих уравнений определяют то движение, которое тело совершало бы при постоянных углах
т.е. поступательное движение, последние три уравнения определяют движение тела, которое происходило бы при постоянных значениях координат .ты, У1A, Z1A, т.е., когда точка А неподвижна, но это будет сферическое движение. Следовательно, в общем случае движение твердого тела слагается из поступательного движения, определяемого движением полюса А, и движения вокруг этого полюса.

теорему: всякое перемещение свободного твердого тела из одного положения в

другое можно осуществить поступательным перемещением вместе с некоторым полюсом и одним поворотом вокруг оси, проходящей через этот полюс. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1, п. 2.18.
Как и при плоскопараллельном движении, угловая скорость вращательной части движения не зависит от выбора полюса, поступательная же часть существенно зависит от выбора полюса. Основными характеристиками движения являются скорость и ускорение полюса, угловая скорость и угловое ускорение во вращательном движении вокруг полюса.

2.34. Скорости и ускорения точек в общем случае движения свободного твердого тела

Перейдем теперь к определению скоростей точек свободного твердого тела. Пусть скорость точки А тела известна. Выберем точку А за полюс и определим скорость произвольной точки В. Точки О и А можно рассматривать как начала неподвижной и подвижной систем координат. Из рис. 2.55 имеем

представляет собой скорость точки В относительно подвижной системы координат, в

которой тело имеет одну закрепленную точку. Тогда, на основании формулы (12) п. 2.31, имеем

(3)

Таким образом, формула (2) может быть записана так:

(4)

Скорость произвольной точки тела равна геометрической сумме скорости ее поступательного движения вместе с полюсом и скорости вращательного движения вокруг мгновенной оси, проходящей через этот полюс.

Как при плоскопараллельном движении, здесь имеет место теорема: проекции скоростей двух точек абсолютно твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.

Из рис. 2.55 следует, что
Далее, дифференцируя последнее равенство, имеем
Откуда, раскрывая

скобки, получим , что и доказывает рассматриваемую теорему.

Определим теперь ускорение точек свободного твердого тела. Дифференцируя равенство (4), найдем

Замечая, что и понимая (3), получим

ускорению полюса, второе и третье слагаемые,
-вращательную и осестремительную составляющие ускорения

вращения тела вокруг полюса. Численные значения и направления этих составляющих исследованы выше при рассмотрении сферического движения .
Таким образом, ускорение произвольной точки твердого тела в общем счучае его движения равно геометрической сумме трех составляющих: 1) ускорения полюса, одинакового для всех точек тела;2) вращательного ускорения вокруг полюса, равного по величине произведению углового ускорения на кратчайшее расстояние от точки до оси вектора углового ускорения, направленного перпендикулярно к плоскости, проходящей через ось вектора углового ускорения и данную точку в ту сторону, откуда вращение вектора углового ускорения к радиус-вектору точки на наименьший угол будет видно положительным; 3) осестремительного ускорения, равного по величине произведению квадрата угловой скорости на кратчайшее расстояние от точки до оси вращения, проведенной через полюс, и направленного перпендикулярно мгновенной оси от точки в сторону этой оси.

2.35.Сложное движение точки.
Основные понятия и определения

системы отсчета, которую считали неподвижной. Однако часто при решении задач

механики приходится исследовать движение точки одновременно относительно двух (или более) систем координат, при этом одна из них считается основной или условно неподвижной, а другая определенным образом движется относительно первой. Движение, совершаемое при этом точкой, называют составным или сложным.

Предположим, что движение точки М в пространстве рассматривается в двух движущихся по отношению к друг другу
системах координат: Oxyz и 01x1y1z1. В зависимости от условия задачи, одну из этих систем, например, 01x1y1z1 примем за основную, условно неподвижную и назовем абсолютной системой координат (рис. 2.56).

Движение, совершаемое точкой М относительно неподвижной системы координат O1x1y1Z1, называется абсолютным. Траектория этого движения называется абсолютной траекторией, скорость - абсолютной скоростью и ускорение - абсолютным ускорением. Абсолютные скорость и ускорение обозначаются ( от англ, absolute).

точки М относительно подвижной системы координат Oxyz называется относительным движением.

Такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с подвижными осями и перемещающийся вместе с ними. Траектория точки, описываемая в относительном движении, называется относительной траекторией. Понятно, что относительная траектория точки не остается неподвижной, а перемещается в пространстве вместе с подвижной системой координат.

Скорость точки М относительно подвижной системы координат называется относительной скоростью, а ускорение - относительным ускорением. Относительные скорости и ускорения обозначаются так: (от лат. relativus).

Из определения 126 относительного движения следует, что при вычислении необходимо мысленно движение осей Oxyz остановить, т.е. рассматривать оси Oxyz как неподвижные и воспользоваться правилами и формулами кинематики точки.

Движение, совершаемое подвижной системой координат Oxyz вместе с неизменно связанным с ней пространством и движущейся в нем точкой относительно неподвижной системы 01x1y1z1, называется переносным движением.

с которой в данный момент совпадает рассматриваемая точка М, называется

переносной скоростью, а ускорение - переносным ускорением. Переносные скорость и ускорение обозначают соответственно (от франц. entrainer - увлекать за собой).
Так как разные, неизменно связанные с подвижной системой отсчета, точки в общем случае имеют разные траектории, то говорить о переносной траектории точки М нельзя.
Основная задача кинематики сложного движения точки состоит в том, чтобы, зная относительное движение точки и переносное движение, т.е. движение подвижной системы координат, найти абсолютное движение точки и, следовательно, определить ее траекторию, скорость и ускорение в этом движении.

2.36. Теорема о сложении скоростей в сложном движении точки

Рассмотрим движение точки М относительно некоторого тела, с которым неизменно связана подвижная система координат Oxyz. Эта система в свою очередь движется по отношению к условно неподвижной системе O1x1y1z1. Положение точки М в подвижной системе координат определяется радиус-вектором р, в неподвижной - радиус-вектором г. Положение начала О подвижной системы координат относительно неподвижной определяется радиус-вектором г0 (см. рис. 2.56). Векторы г, г0 и р связаны следующим соотношением:

получим
(2)
Подчеркнем еще раз, что х, у, z - координаты точки

М в подвижной системе Oxyz, а i, j, k - орты этой системы, которые являются функциями времени.
Абсолютная скорость точки М получается, как обычно, дифференцированием по времени радиус-вектора r, определяемого формулой (2). В результате дифференцирования получим

Проанализируем теперь получившееся равенство (3).
Если бы х, у

и z были постоянными, мы получили бы скорость точки т, неизменно связанную с подвижной системой координат, в которой в данный момент находится рассматриваемая точка М, т.е. переносную скорость. Из определения переносной скорости при х, у, z = const следует, что . Но из формулы (3) в этом случае (т.е. при х, у, z = const) получим

С другой стороны, для скоростей точек в общем случае движения свободного твердого тела мы получили следующее выражение:

где - абсолютная скорость начала О подвижной системы координат, - вектор мгновенной угловой скорости подвижной системы координат.

Далее, если бы i,j, к и г0 были постоянными, т.е. система координат Oxyz стала бы неподвижной, то по определению относительной скорости
, но из формулы (4), в этом случае мы получили бы

теореме о сложении скоростей: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме

переносной и относительной скоростей этой точки:

(7)

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что абсолютная скорость точки по величине и направлению равна диагонали параллелограмма, построенного на векторах переносной и относительной скоростей.

2.37. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Для того, чтобы найти абсолютное ускорение точки, продифференцируем равенство (3) предыдущего параграфа по времени. В результате получим

производные равны нулю и первые четыре слагаемых формулы (1) дают

ускорение точки, неизменно связанной с подвижной системой координат, т.е. переносное ускорение

(2)

С другой стороны, ускорение точки свободного твердого тела

(3)

Заметим, что формулу (3) можно получить, дифференцируя формулу (5) предыдущего параграфа. Следующая группа, состоящая из трех слагаемых, представляет относительное ускорение

(4)

вспомним, что
Тогда, заменяя в этой формуле р на Vr с

компонентами х, у, z , получим

(5)

Ускорение, определяемое равенством (5), называют поворотным, или ускорением Кориолиса:

В формуле (6) здесь мы ввели новое обозначение, чтобы подчеркнуть связь со с переносным движением. Итак, имеем

точки равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисового ускорений.
При использовании

формулы (7) необходимо помнить, что переносное ускорение следует вычислять методами кинематики твердого тела при различных случаях его движения.
Относительное ускорение определяется в относительной системе координат по правилам кинематики точки, при этом подвижная система координат считается неподвижной.
В частном случае поступательного переносного движения и, следовательно, В этом случае

Этот результат аналогичен теореме о сложении скоростей.