базис и размерность

линейно независимых (ненулевых) векторов, линейная оболочка которых дает V.
Обозначение:

оболочка B дает R2:
→
→

только тогда, когда каждый вектор пространства можно выразить единственным образом

в виде линейной комбинации элементов подмножества.

Доказательство: По определению линейной оболочки
→ каждый вектор можно выразить в виде линейной комбинации базисных векторов. Пусть такое представление не единственно:

Но

тогда

- ЛН система ⇔

QED

u = (4,5). Тогда для базисных векторов
u1 = (1, 0),

u2 = (0, 1) и u’1 = (2, 1), u’2 = (−1, 1)

u = 4u1 + 5u2, u = 3u’1 + 2u’2

векторного пространства V ,тогда

называют разложением вектора v по базе B.
Разложение также можно задать столбцом

cj называются координатами(компонентами) v в B.

Пример 1.6:

Пусть

Тогда координаты элемента

базу из конечного числа векторов.
Лемма 2.2: Лемма о замене

базисного элемента
Предположим, что является базисом векторного пространства и для вектора v выполняется соотношение:

Тогда, заменив bj на v, получим другой базис пространства.

причем cj ≠ 0.

Доказательство: Действительно, является ЛН системой и для произвольного вектора




QED

число элементов.
Доказательство:
Пусть

есть базис из n элементов.
Возьмем другой базис { g1 , …, gm }, предположим m ≥ n.

Пусть

и ck ≠ 0.

По лемме 2.2, { b1 , …, bk − 1 ,g1 ,bk + 1 , …, bn } также есть базис.

Далее, заменив для некоторого j bj на g2 , получим новый базис { b1 , …, bk − 1 ,g1 ,bk + 1 , …, bj − 1 ,g2 ,bj + 1 , …, bn }.

Продолжая процесс n раз, получим базис { g1 , …, gn }.

Это противоречит тому, что { g1 , …, gm } − ЛН.

Причем хотя бы один из коэффициентовck ≠ 0.

Предпололжим m > n, тогда

Поэтому m = n.

из его базисов. ( Обозначение dim V)
Пример 2.5:

Пространство n-разрядных столбцов Rn .
Любой базис пространства Rn содержит n векторов, так как его стандартный базис Еn содержит n векторов.
→ dim Rn = n .

Пример 2.6: Пространство Pn многочленов степени не выше n
dim P = n+1, так как его натуральный базис { 1, x, x2, …, xn }, содержит n+1 элемент.

Пример 2.7:
Тривиальное пространство является 0-мерным , так как его базис пуст.

размерность пространства.
Пример 2.9 : Подпространства R3.
2-D: Плоскости через 0
1-D: Прямые

через 0

0-D: {0}

2.11:
Любой набор S, такой что span S = V,

можно сузить до базиса.

Следствие 2.12:
В n-мерном векторном пространстве, множество S из n векторов является ЛН т.и т.т.к. span S = V.

базиса В =

и G = векторного пространства V. Тогда элементы второго базиса можно выразить через первый базис:

Или, в матричном виде:

Определение 3.1: Матрица Р называется матрицей перехода от базиса B к базису G.

базису G:

Точно также можно найти матрицу перехода от базиса G к базису В, пусть R- матрица перехода:
.
Тогда из последних двух соотношений получим



Так как В и G – ЛН системы, получим PR = RP = I. Таким образом R – обратная матрица к Р и Р – невырождена.
QED

Теорема 3.2: Матрица Р перехода от базиса В к базису G является невырожденной. Матрица перехода от G к B равна .

и два базиса В =

и G = векторного пространства V. Разложим вектор v по этим базисам:

Тогда:



Из сравнения получим , или в матричном виде:

- связь координат одного и того же вектора в различных базах.