Частные производные высших порядков. Некоторые сведения из теории квадратичных форм

высших порядков.
Неявные функции и их дифференцирование.

во всех точках открытого множества G ⊂ R2. Эти производные

– функции независимых переменных x и у, заданные на множестве G, и тоже могут иметь частные производные в точке M∈G.
Частная производная

Частная производная
Аналогично

Производные fxx(х, у), fyy(х, у), fxy(х, у), fyx (х, у) называются частными производными второго порядка.

обозначается

или fxx.

обозначается

или fxу.

третьего порядка
fxxх, fxxу, fyyх, fyyу, fxyх, fxyу, fyxх , fyxу

.
Аналогично определяются частные производные любого порядка от функций любого числа переменных. Т.е. частной производной n-ого порядка называется частная производная по какой-нибудь переменной от частной производной (n-1)-ого порядка.
Частная производная, полученная дифференцированием по различным переменным, называется смешанной производной.

ТЕОРЕМА (о смешанных производных).
Если обе смешанные производные fxy (х, у) и fyx (х, у) определены в некоторой окрестности точки М0 (х0,у0) и непрерывны в этой точке , то
fxy (х0, у0) = fyx (х0, у0).

Сформулированная выше теорема о частных производных распространяется на любые непрерывные смешанные производные, которые отличаются друг от друга только порядком дифференцирования.
Например fxyу (х0, у0) = fyуx (х0, у0), если эти производные непрерывны в данной точке.

называется функция вида



Матрица




называется

матрицей квадратичной формы.
А = АТ , т.е. матрица симметрична.
Если aij = 0 при i ≠ j , то такой вид квадратичной формы называется каноническим.

каноническому виду. При этом справедлив следующий

ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ:
Число

слагаемых с положительными (отрицательными) каноническими коэффициентами постоянно и не зависит от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Квадратичная форма называется
положительно (отрицательно) определенной, если для ∀ x1, x2, ... , xn выполняется условие:
Q(x1, x2, ... , xn) ≥ 0 (≤ 0), причем Q(x1, x2, ... , xn) = 0 ⇔ x1 = x2 = ... = xn = 0;
неопределенной, если существуют x1, x2, ... , xn и x1′, x2′, ... , xn′, такие что
Q(x1, x2, ... , xn) > 0 и Q(x1′, x2′, ... , xn′ ) < 0.

, ... , Δn= det A.

Справедливо следующее утверждение, так называемый,

КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРА ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТИ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ:
Квадратичная форма положительно определенна ⇔
Δ1 > 0, Δ2 > 0 , ... , Δn > 0 .
Квадратичная форма отрицательно определенна ⇔
Δ1< 0, Δ2 > 0 , ... , (-1)n Δn > 0 .

частные производные первого и второго порядка во всех точках М(х,у)

некоторой области G⊂R2. Тогда при фиксированных dx и dy дифференциал


есть функция от x, y, имеющая в рассматриваемой области непрерывные частные производные, следовательно, в любой точке этой области существует дифференциал от df. Вычислим его при тех же приращениях dx и dy:







Он называется вторым дифференциалом функции z = f(x, y) в точке М(х, у).

третий дифференциал:



Для сокращения записи второго и последующих дифференциалов функции введем

символ дифференциала d при помощи соотношения


и определим операцию возведения этого символа в степень n. Например:



Тогда второй дифференциал функции z = f(x, y) можно записать в виде произведения

символически записать в следующей форме:



Пусть функция u = f(х1, х2,

... хm) имеет в области G ⊂ Rm непрерывные производные первого и второго порядка по всем переменным. Тогда для нее, по аналогии с функцией двух переменных, вводится понятие второго дифференциала в точке М (х1, х2, ... хm):



Заметим, что последнее выражение – квадратичная форма от переменных dxi (i = 1, 2, … , m).
По индукции определяется дифференциал n – ого порядка в предположении, что все частные производные n-ого порядка непрерывны в точке М:

R2. Рассмотрим уравнение
F ( x, y ) = 0.

(1)
Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), будем называть графиком уравнения. Будем рассматривать такие уравнения, графики которых – непустые множества.
Если график уравнения (1) однозначно проектируется на отрезок оси ОХ, то на этом отрезке существует единственная функция y = f(x), график которой совпадает с графиком уравнения (1). Эта функция каждому х ставит в соответствие тот единственный у, для которого F(x, y(х)) = 0. Говорят, что уравнение (1) определяет у как неявную функцию от х.

прямоугольнике х∈[–1,1], у∈[0,1] неявно определяет функцию

а в прямоугольнике х∈[–1,1], у∈[–

1,0] – функцию

x

y

0

1

1

–1

–1

частные производные Fх(x, y), Fу(x, y);
Fу(x0, y0) ≠ 0;
F(x0, y0)

= 0.
Тогда существует прямоугольник
К = {(х, у): х0 – а ≤ х ≤ х0 + а; у0 – b ≤ у ≤ у0 + b},
в котором уравнение F(x, y) = 0 определяет у как неявную функцию от х.
Функция y = f(x) непрерывно дифференцируема на (х0 – а, х0 + а) и

заданной неявно с помощью уравнения:
Здесь
По правилу дифференцирования неявной

функции получим:

Продифференцируем полученное выражение по х с учетом того,
что у есть функция от х:

Подставим сюда найденное выражение для у '(х).

= a2b2 (согласно уравнению )

функция зависит от двух (и более) переменных, т.е. задается уравнением
F

( x, y, z ) = 0.
С помощью формального дифференцирования получим выражения для соответствующих частных производных функции z(x, y):

= 0

= 0

в точке (2, 0) для каждой дифференцируемой функции z(x, y),

заданной неявно с помощью уравнения:

В окрестности точки (2, 0) уравнением определяются две дифференцируемые функции z(x, y). Их значения в этой точке определяются как решения уравнения

Частные производные функции

равны

По правилу дифференцирования неявной функции получим:

Вычислим вторые производные, дифференцируя полученные выражения:

0) = 16, то