Численные методы

создание математической модели (постановка задачи). Для физического процесса модель обычно

состоит из уравнений, описывающих процесс.
Второй этап – это математическое исследование. В зависимости от сложности модели применяются различные математические методы. Часто применяются численные методы.
Третий этап – это осмысление математического решения и сопоставление его с экспериментальными данными. Проверка адекватности математической модели.

интерпретации интеграла как площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, подынтегральной кривой

и прямыми x=a, x=b,
где a и b – пределы интегрирования

которое будет разбита вся площадь. Находим шаг интегрирования:
h = (b

- a) / N
Найдем определенный интеграл как сумму площадей элементарных фигур (прямоугольников), на которые разбита площадь под подынтегральной кривой

на которые разбита площадь под подынтегральной кривой

трапеций), на которые разбита площадь под подынтегральной кривой. Площадь криволинейной

параболы определяется по формуле:

задач в процессе математического моделирования является вычисление значений функций, входящих

в математическое описание модели. Для сложных моделей подобные вычисления могут быть трудоемкими даже при использовании ЭВМ.
Поставленные проблемы решаются путем приближенной замены функции f(x) более простой функцией ϕ(x), которую нетрудно вычислять при любом значении аргумента в заданном интервале его изменения.
Приближение функции f(x) более простой функцией ϕ(x) называется аппроксимацией.

опыте получена пара значений xi, yi (i=1,…, N).
Необходимо провести

аппроксимирующую кривую, которая не проходит через экспериментальные точки, но в то же время отражает исследуемую зависимость, сглаживает возможные выбросы, возникшие за счет погрешностей эксперимента.

В узлах xi функции f(xi) и ϕ (x) будут отличаться

на величину εi = ϕ (xi) - f(xi). Отклонения могут быть положительными и отрицательными. Чтобы не учитывать знаки, возведем отклонение в квадрат и просуммируем:

Метод построения аппроксимирующей функции из условия минимума величины Q называется методом наименьших квадратов (МНК).

вид полинома n-й степени :
y = a0 + a1*x

+ a2*x2 + … + an*xn
Нахождение коэффициентов ai рассмотрим на примере аппроксимации прямой (полиномом первой степени).
y = a0 + a1*x – математическая модель
Запишем критерий МНК:

найдем частные производные и приравняем нулю.

Преобразуем:

= C
где A – вектор-столбец неизвестных,
С – вектор свободных членов,
D

– матрица коэффициентов.

Система линейных уравнений может быть решена либо точными методами (метод Крамера, метод обратных матриц, метод Гаусса), либо приближенными методами (метод простых итераций, метод Зейделя).

функция должна проходить через заданные узлы, называется интерполяцией.
Частной задачей интерполяции

считают нахождение приближенных значений табличной функции при аргументах x, не совпадающих с узловыми.
В более общем плане с помощью интерполяции решают широкий круг задач численного анализа – дифференцирование и интегрирование функций, нахождение нулей и экстремумов функций, решение дифференциальных уравнений и т.д.
Возможность решения этих задач обусловлена достаточно простым видом аппроксимирующей функции ϕ(x).

эксперимента или путем вычислений. Выбранные значения аргумента x называются узлами

таблицы. Считаем, что узлы не являются равноотстоящими.

Введем функцию ϕ(x) так, чтобы она совпадала с табличными значениями заданной функции f(x) во всех узлах xi:
ϕ(x, a0, a1, …,an) = fi, 0 ≤ i ≤ N (*)
Свободные параметры ai определяются из системы уравнений.
Подобный способ введения аппроксимирующей функции называется лагранжевой интерполяцией, а соотношения (*) – условиями Лагранжа.

форму интерполяционного полинома:

Коэффициент полинома находится как отношение произведений отклонений точки

х, не принадлежащей узлу, от всех узлов (исключая i-й) и произведения отклонений i-го узла от всех остальных узлов.

X* - значение аргумента, не совпадающее с узловыми значениями

полиномов Ньютона
Первый полином Ньютона (для интерполяции «вперед»)

где yi – значения

дискретной функции,
Δyi, Δ2yi – конечные разности первого, второго порядка и т.д.
q определяется по формуле:

h – шаг интерполяции; n – порядок полинома;
n=N-1
N – количество точек в таблице

моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники:
-

уравнения движения тел в механике,
- кинетика химических реакций,
- прогиб упругого стержня.
В ДУ n-го порядка в качестве неизвестных величин входят функция f(x) и ее первые n производных по аргументу x:
φ(x, y, y’, … ,y(n)) = 0 (1)
Уравнение (1) эквивалентно системе n уравнений первого порядка:
φk (x, y1, y1’, y2, y’2, … , yn, y’n ) =0, где k = 1…n (2)

решений.
Единственное решение выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять

искомые решения.
В зависимости от вида этих условий выделяют 3 типа задач:
- задачи Коши,
- граничные задачи,
- задачи на собственные значения.

некоторой точке x0 заданы начальные условия, т.е. значения функции y(x)

и (n-1) ее производных:
y(x0) = y0, y’(x0) = y’0, …, y(n-1)(x0) = yn-10 .
Для системы ОДУ (2):
y1(x0), y2(x0), …, yn(x0).

форме Коши

y(x0)=y0
В окрестности точки x0 функцию y(x) разложим

в ряд Тейлора, который можно применить для приближенного определения искомой функции y(x):

членами ряда
y(x0+h) = y0 + h*y’(x0) + O(h2),
где O(h2)

– бесконечно малая величина порядка h2.
Заменим производную y’(x0) на f(x0,y0):
y(x0+h) ≈ y0 + h* f(x0,y0) (3)
Теперь приближенное решение в точке x1 = x0 + h можно вновь рассматривать как начальное условие и по формуле (3) найти значение функции y в следующей точке x2 = x1+h.
Получен простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом Эйлера

представляющей собой отрезки касательных к этой функции в узлах x0,

x1, …, xn.

решения в ряд Тейлора, необходимо учитывать большее количество членов ряда.

Однако при этом возникает необходимость аппроксимации производных от правых частей ОДУ.
Идея методов Рунге-Кутта заключается в том, что производные аппроксимируются через значения функции f(x,y) в точках на интервале [x0, x0+h], которые выбираются из условия наибольшей близости к ряду Тейлора

которой учитываются члены ряда, существуют вычислительные схемы Рунге-Кутта разного порядка.
yi+1

= yi + Δy - рекуррентная формула Рунге-Кутта
Δy = (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6 - усредненное значение приращений y, где ki – аналог Δy.

y’(xi, yi)
k2 = h* y’(xi + h/2, yi + k1/2)
k3

= h* y’(xi + h/2, yi + k2/2)
k4 = h*y’(xi + h, yi + k3)
Метод Рунге-Кутта является более точным, чем метод Эйлера, т.к. чем выше порядок, тем точнее расчет приращения Δy.