Дифференциальные уравнения

пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную x

Основные понятия

Такие уравнения называются дифференциальными уравнением (ДУ) (термин принадлежит Лейбницу, 1676)

Символически дифференциальное уравнение можно написать:

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например, уравнение

есть уравнение второго порядка.

независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, в противном случае

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество, процесс отыскания решения называется интегрированием ДУ

Например, рассмотрим уравнение:

Функция

является решением уравнения, так как:

При подстановке функции и ее производных в уравнение получим тождество:

можно записать в виде:
то его называют ДУ первого порядка, разрешенным

Уравнение первого порядка может быть записано также в дифференциальном виде:

P(x; y) и Q(x; y) – известные функции.

Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному множеству решений, отличающихся друг от друга постоянными величинами.

вида
Чтобы решение дифференциального уравнения приобрело конкретный смысл, его надо

Условие, что при x = x0 функция у должна быть равна заданному числу у0, называют начальным условием и записывают в виде:

, а также функция

Функция
Каково бы ни было начальное условие у(x0 ) = у0

содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:

является решением ДУ при каждом

фиксированном значении C.

удовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением ДУ первого порядка называется функция, полученная из общего решения при конкретном значении постоянной С = С0 .

Если общее решение ДУ найдено в неявном виде: Ф(x; y; C) = 0, то такое решение называется общим интегралом, уравнение Ф(x; y; С0) = 0 называется частным интегралом.

геометрической точки зрения, общее решение ДУ первого порядка есть семейство

Например, общее решение ДУ

есть семейство парабол:

Частное решение - одна кривая из этого семейства, проходящая через точку М(х0; у0)

Частное решение, удовлетворяющее начальному условию: у(1) = 2 - это одна парабола, проходящая через точку М(1, 2) с уравнением:

Задача отыскания частного решения ДУ, удовлетворяющего заданному начальному условию называется задачей Коши.

вида:
Такое уравнение называется уравнением с разделенными переменными.
Проинтегрировав это уравнение почленно,

- общий интеграл ДУ.

Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид:

(1)

(2)

Уравнение (2) сводится к уравнению (1) путем почленного деления его на

могут быть потеряны некоторые решения.
Поэтому следует отдельно решить уравнение

(3)
Уравнение
и

также сводится к уравнению с разделенными переменными.

Для этого достаточно положить

ДУ
Решим уравнение xy = 0:
Его решения: x = 0 и

Решить задачу Коши:

Общее решение ДУ

Подставим начальные условия:

Частное решение ДУ

с разделяющимися переменными:
Задача: материальная точка массы m замедляет свое движение

Решение:

Примем за переменную время t, отсчитываемое от начала замедления точки. Тогда скорость V будет функцией t: V = V(t).

Воспользуемся вторым законом Ньютона:

В нашем случае

- коэффициент пропорциональности

переменными:
Скорость точки изменяется по закону: