Дифференцирование и дифференциал. Производные высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления

факультет
Кафедра высшей математики




Математика

Лекция 7. Дифференцирование и дифференциал. Производные высших порядков.

Основные теоремы дифференциального исчисления. Правила Лопиталя.


Лектор: Бодряков В.Ю. E-mail: Bodryakov_VYu@e1.ru
Поток: 1 к. ИКРиМ, 2012-2013 уч.г.



Екатеринбург - 2012

СПб.: Лань, 2007. – 448 с.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по

высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1. – М.: Айрис – Пресс, 2008. – 288 с.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 672 с.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1. СПб.: Лань, 2005. – 448 с., Ч.2, 2005. – 464 с.
Электронный ресурс: www.exponenta.ru

Рекомендуемая литература

высших порядков
§3. Дифференциал функции
§4. Основные теоремы дифференциального исчисления
§5. Правила Лопиталя






Содержание

лекции

если она может быть выражена уравнением y = f(x), разрешенном

относительно y.
Df: Говорят, что функция задана в неявном виде (неявная функция), если она не может быть выражена уравнением y = f(x), разрешенном относительно y; в этом случае функция задается неявным уравнением F(x; y) = 0.
Так, неявно заданными функциями будут функции
y + 2x + cos y = 1; ey – x + y = 0; 4x2 + 9y2 − 16 = 0, и др. Неявно заданные функции трудно или невозможно (однозначно) разрешить относительно y.
Однако, для нахождения производной y′ ≡ yx′ нет необходимости в получении явного выражения y = y(x).

§1. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование 1.1. Неявно заданная функция

= f(x) называется производная от производной (n−1)-го порядка:
y(n) =

(y(n−1))′.
Производные порядков выше первого называются производными высших порядков.
Начиная с производных четвертого порядка, порядок производных обозначают римскими цифрами или числом в скобках; так, yIV или y(4) – производная 4-го порядка.
П р и м е р 4. Найти 13-ю производную функции y = sin x.
Решение: Для выявления закономерности вычислим несколько первых производных данной функции: y′ = (sin x)′ = cos x; y″ = (cos x)′ = −sin x; y″′ = (−sin x)′ = −cos x; yIV = (−cos x)′ = sin x. Т.о., четвертая производная дает исходную функцию y = sin x и цикл замыкается. Поэтому y(13) = y′ = cos x.
Ответ: y(13) = y′ = cos x.

2.1. Явно заданные функции (продолжение)

= 0. Требуется найти производные высших порядков переменной y по

независимой переменной x.
Продифференцировав уравнение F(x; y) = 0 по x и разрешив полученное уравнение относительно y′, найдем производную первого порядка (первую производную) y′ = y′(x; y). Продифференцировав вновь выражение y′(x; y) по x получим вторую производную y″ от неявно заданной функции. В выражение для y″ войдут x, y, y′. Подставляя уже найденное значение y′ в выражение для второй производной, получим выражение для второй производной y″ = y″(x; y).
Аналогично вычисляют производные третьего, четвертого и более высоких порядков.

2.2. Неявно заданные функции

y = f(x) в точке М(x; y) касательную MT и

рассмотрим ординату этой касательной для точки с абсциссой x + Δx (см. рис.).






На рис.: |AM| = Δx, |AM1| = Δy, |AB| = dy. Из прямоугольного треугольника ΔAMB имеем tg α = AB/AM = dy/dx = f′(x).
Дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты этой касательной в т. x + Δx.

3.2. Геометрический смысл дифференциала функции

сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу

на дифференциал этого промежуточного аргумента:
dy = yu′⋅du.
Доказательство: Пусть y = f(u) и u = ϕ(x) – две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию y = f(ϕ(x)). По теореме о производной сложной функции можем написать: yx′ = yu′⋅ ux′. Умножив обе части этого равенства на dx, имеем: yx′⋅dx = yu′⋅ ux′⋅dx. Заметив, что yx′⋅dx = dy и ux′⋅dx = du, получаем требуемое:
dy = yu′⋅du, ч.т.д.

3.3. Основные теоремы о дифференциалах (продолжение)

имеют один и тот же вид, независимо от того, является

ли аргумент функции y(x) или y(u) независимой переменной x или сам является функцией другого аргумента u = u(x).
Df: Независимость вида (первого) дифференциала от того является ли аргумент функции независимой переменной или сам является функцией другого аргумента, называется инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

3.3. Основные теоремы о дифференциалах (продолжение)

x можно представить в виде Δy = f′(x)⋅Δx + α⋅Δx,

где α → 0 при Δx → 0. Отбрасывая бесконечно малую функцию более высокого порядка, получим приближенно:
Δy ≈ f′(x)⋅Δx = dy.
Это равенство выполняется тем точнее, чем меньше Δx. Нередко оказывается, что дифференциал функции вычислить проще, чем приращение самой функции, поэтому формула Δy ≈ dy широко применяется в практике приближенных вычислений. Формулу приближенных вычислений удобно использовать в виде:
f(x + Δx) ≈ f(x) + f′(x)⋅Δx.
Подразумевается, что значение функции f(x) в точке x известно или может быть легко найдено.
Можно показать, что абсолютная погрешность δy приближенной формулы не превышает величины |δy| ≤ M(Δx)2, где M = max|f″(x)|, x ∈ [x; x + Δx].

3.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

нахождении корня уравнения вида f(x) = 0.






Пусть в результате предварительного

исследования функции y = f(x) установлена единственность корня x и на n-ом итерационном шаге в точке xn значение функции равно f(xn). Следующее приближение (xn+1) выберем, проведя касательную к графику функции в точке xn (см. рис.).

3.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям (продолжение)

x – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy =

f′(x)dx сам является функцией от x и можно найти дифференциал этой функции.
Df: Дифференциал от (первого) дифференциала функции y = f(x) называется ее вторым дифференциалом (дифференциалом второго порядка); обозначается d2y или d2f(x) . По определению, d2y = d(dy) = d(f′(x)dx).
Вычислим второй дифференциал функции y = f(x):
d2y = d(dy) = d(f′(x)dx) = (f′(x)dx)′dx = (f′(x))′⋅dx⋅dx = f″(x)dx2.
Здесь dx2 = dx⋅dx = (dx)2 – квадрат приращения аргумента x.
Аналогично получаем для 3-го дифференциала:
d3y = d(d2y) = d(f″(x)dx2) = (f″(x) dx2)′dx = (f″(x))′⋅ dx2⋅dx =
= f″′(x)dx3,
где dx3 = dx2⋅dx = (dx)3 – куб приращения аргумента x.

3.6. Дифференциалы высших порядков

Ролля, Лагранжа и Коши.
Т е о р е м

а (лемма) П. Ферма. Если функция имеет производную, и в точке с имеет экстремум, то значение производной в этой точке равно нулю: f′(с) = 0.
Доказательство: Приведено далее, при анализе экстремального поведения дифференцируемой функции.

§4. Основные теоремы дифференциального исчисления

нуле производной). Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке

[a; b], дифференцируема на интервале (a; b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a) = f(b), то найдется по крайней мере одна точка c ∈ (a; b), в которой производная f′(x) обращается в нуль, т.е. f′(с) = 0.
Доказательство: Согласно теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений; обозначим их M и m, соответственно.
Если M = m, то функция постоянна (f(x) ≡ Const) и потому f′(x) ≡ 0 ∀x ∈ (a; b). Для этого, тривиального, случая утверждение теоремы доказано.

§4. Основные теоремы дифференциального исчисления (продолжение)

то функция достигает хотя бы одно из значений M или

m во внутренней точке c интервала (a; b), так как f(a) = f(b) (см. рис.).







Пусть, например, функция f(x) принимает значение M = f(c) во внутренней точке с области определения функции: c ∈ [a; b]. Тогда для всех x ∈ (a; b) выполняется соотношение f(x) ≤ f(c) = M.

§4. Теорема Ролля (продолжение)

f(x) найдется точка, в которой касательная к графику функции параллельна

оси Ox (см. выше рис. а, б). Таких точек в области определения функции может быть несколько (см. рис.), и даже бесконечное (счетное) множество.

§4. Теорема Ролля (продолжение)