Дифференциальные уравнения

2-ого порядка с постоянными коэффициентами (примеры).

решение ДУ:

Поделим обе части на чтобы разделить переменные:
Проинтегрируем обе

- Общее решение ДУ

множители за скобки:
3.

функции соответствующими степенями r, причем сама эта функция заменяется единицей.
в

Такими уравнениями называются уравнения вида:

(1)

- постоянные

Для отыскания общего решения уравнения составляется характеристическое
уравнение:

(2)

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами (примеры).

- линейно независимые частные решения уравнения (1),

а

Общее решение имеет вид

Строится общее решение в зависимости от дискриминанта
квадратного уравнения (2):

В этом случае имеем 2 различных действительных корня и ,
и общее решение имеет вид:

3)

В этом случае имеем пару комплексных сопряженных корней

где - мнимая единица, и -
действительные числа.

1)

2)

В этом случае имеем единственный действительный корень , и общее
решение имеет вид:

:
1.
2.

2). Общее решение запишется:

условиями
Найдём общее решение. Характеристическое уравнение:
имеем 2 комплексных корня

и подставляем в

- искомое частное решение.