Дифференциальные уравнения (продолжение)

Линейные однородные уравнения 1-ого порядка.
III. Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающие

понижение порядка.
IV. Линейные однородные дифференциальные
уравнения 2-ого порядка с постоянными
коэффициентами.

обе части:
- общий интеграл
После нехитрых преобразований можно разрешить это уравнение

относительно
y и получить общее решение.

1.

множители за скобки:
3.

вначале общий интеграл.

значение константы
подставляем в общее решение
- искомое частное решение

относительно искомой функции и её
производной

II. Линейные однородные дифференциальные уравнения 1-ого порядка.

Общий вид линейного уравнения:

Рассмотрим случай однородного уравнения, когда

, т.е.:

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными:

решается последовательным n-кратным интегрированием.
Умножаем обе части уравнения на dx:

Интегрируем:


Получаем уравнение (n-1)-го порядка:

,где первообразная для f(x)

Снова умножаем обе части на dx и интегрируем:

или

и т.д.

Общее решение будет зависеть от n произвольных констант

соответствующими степенями , причём сама функция
заменяется единицей.
в

котором все члены имеют первую степень относительно функции и её
производных, а коэффициенты

IV. Линейные однородные дифференциальные уравнения II-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Такими уравнениями называются уравнения вида:

(1)

- постоянные

Для отыскания общего решения уравнения составляется характеристическое
уравнение:

(2)

- линейно независимые частные решения уравнения (1),

а

и - произвольные постоянные.

Общее решение имеет вид

Строится общее решение в зависимости от дискриминанта
квадратного уравнения (2):

В этом случае имеем 2 различных действительных корня и ,
и общее решение имеет вид:

3)

В этом случае имеем пару комплексных сопряженных корней

где - мнимая единица, и -
действительные числа.

1)

2)

В этом случае имеем единственный действительный корень , и общее
решение имеет вид:

:
1.
2.

2). Общее решение запишется:

условиями
Найдём общее решение. Характеристическое уравнение:
имеем 2 комплексных корня

и подставляем в

общее решение :

- искомое частное решение.