Диофантовы уравнения первой степени с двумя неизвестными

стационара факультета математики, информатики и физики отделение математики Русанов А.Г.
Научный

руководитель: ст. преп. Авдеева А.А.

первой степени с двумя неизвестными.
Задачи исследования:
изложить историческую

справку о возникновении и развитии теории неопределенных уравнений;
рассмотреть числовые сравнения и их свойства; линейные сравнения с одним неизвестным и методы их решения;
изложить методы решения диофантовых уравнений первой степени с n неизвестными, n ≥ 2;
выполнить упражнения, относящиеся к теме исследования.

И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век

его жизни.
Часть шестую его представляло прекрасное детство.
Двенадцатая часть протекла еще жизни – покрылся пухом тогда подбородок.
Седьмую в бездетном браке провел Диофант.
Прошло пятилетие; он был осчастливлен рождением первенца сына.
Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом.
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши четыре года с тех пор, как сына лишился.
Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант.

Диофант и история диофантовых уравнений

тогда х/6 лет – он прожил ребенком, а х/12

лет – он прожил до появления пуха на его подбородке, х/7 лет – Диофант провел в бездетном браке, спустя 5 лет у него родился сын, который прожил х/2 лет. Отец пережил сына на 4 года.
Уравнение:
х = х/6+х/12+х/7+5+х/2+4.

Диофант и история диофантовых уравнений

которые были объединены в «Арифметику». «Арифметика» представляла собой сборник

задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением и необходимым пояснением.

Диофант и история диофантовых уравнений

неизвестными называется уравнение вида

, где , , .

Определение.
Решением линейного диофантового уравнения называется упорядоченная последовательность целых чисел , такая, что .

Диофантовы уравнения 1-й степени и методы их решения

, диофантово уравнение
, имеет решение в целых числах.
Теорема 2.
Пусть d - наибольший общий делитель коэффициентов . Диофантово уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда d |b . Число решений такого уравнения равно нулю, либо бесконечности.

Число решений ЛДУ

Нахождение решений ЛДУ

, и:



1) c не

делится на d 2) c делится на d


решений нет целочисленные
решения есть

Нахождение решений ЛДУ

ТО

,

, с≠0.
Решениями ЛОДУ являются пары
вида , где .
Если - частное решение ЛНДУ, а
общее решение соответствующего ЛОДУ, то
общее решение ЛНДУ определяется формулами:

, .

Нахождение решений ЛДУ

в
некоторых случаях можно подобрать,
учитывая, что

.
Метод 2. Если это не удается, то свести ЛДУ
к линейному сравнению относительно
любого из неизвестных: , -
– частное решение сравнения – первая
компонента пары, - вторая
компонента пары.

Нахождение частного решения ЛДУ

b — целые, то множество значений функции f(x; y) =

ax + by от двух целочисленных аргументов х и у совпадает с множеством чисел, кратных d = НОД(а; b), то есть с множеством:
{..., -2d, -d, 0, d, 2d, ...}.

Нахождение частного решения ЛДУ

,

, где
- предпоследняя подходящая дробь
разложения в цепную дробь.

Нахождение частного решения ЛДУ

Нахождение решений произвольного ЛДУ, n>2

.
Решение.
Решим сравнение

, (3,7)= 1.
Применяя метод преобразования коэффициен-
-тов, получаем: , , т.е.
, . ;
Получили общее решение:
, где . (*)

Ответ. Общее решение уранения находится по формулам (*).

Практическая часть

.
Решение.

(2, 5) = 1, следовательно, уравнение имеет решение в целых
числах. Разложим в цепную дробь 2/5 получим: 2/5 =(0, 2, 2).
Составим все подходящие дроби:
, , . На основании свойства

подходящих дробей получим , или . Умножив обе части равенства на (-7) получаем:
, , - частное решение. Все решения могут быть найдены по формулам:
или , .

Ответ. , .

Практическая часть

требуется доставить 150 контейнеров груза. В распоряжении отправителей имеются транспортные

самолеты грузоподъемностью соответственно в 8 и 13 контейнеров. Сколько понадобится самолетов того и другого типа для того, чтобы перевезти указанный груз одним рейсом? Грузоподъемность каждого самолета должна быть использована полностью.

Практическая часть

соответственно 8 и 13 контейнеров. По
условию, в населенный пункт требуется

доставить 150 контейнеров
груза. Тогда 8x+13y=150 (1). Составлено диофантово уравнение
первой степени с двумя неизвестными. Решим его, перейдя к
сравнению 8x≡150(mod 13) (2). Т.к. (4, 13) =1, то 4x≡75(mod 13),
4x≡75-13*7(mod 13), x≡-4(mod 13) или x≡9(mod 13).
, .

Ответ. Понадобится 9 и 6 самолетов одного и другого типов, чтобы доставить 150 контейнеров

Практическая часть