Дивергентная форма УГД Одном плоское течение газа

невязкого газа, которое зависит от времени и одной декартовой

координаты , в эйлеровых переменных следующий имеет вид:

(1.1)

(1.2)

(1.3)

параметры газа - плотность, - давление, -внутренняя энергия единицы

массы газа, - скорость в направлении оси
в общем случае, являются функциями координаты и времени . Функция - это полная энергия единицы массы газа, определяемая соотношением:

(1.6)

по формулам:


Например, если уравнение состояния

задано в виде:

(1.7)

Где - удельный объем, , - энтропия,
- температура газа по шкале Кельвина. Тогда с помощью термодинамического тождества (второе начало термодинамики):

(1.8)

(1.9)

(1.10)

и

, то это можно сделать в два приема: сначала из неявного уравнения (1.7) находится функция , а затем по формуле (1.9) определяется . Поэтому можно считать, что зависимость

(1.11)

легко вычислима.

введено как уравнение замыкающее систему (1.1)-(1.3). Для некоторых простейших уравнений

состояния эта зависимость сама по себе не сложна. Например, для идеального газа она имеет вид:

(1.12)

Величина - называется показателем адиабаты, обычно
. Для идеального газа эта величина определяется отношением удельных теплоемкостей газа, взятых при постоянном давлении и постоянном объеме :

возможно, по меньшей мере, два варианта представления системы УГД в

дивергентной форме, как системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Будем в качестве дополнительного уравнения использовать уравнение состояния для давления : , оставив в качестве независимых функций системы тройку:

просто находим из уравнения:

(1.4а)

с дополнительным уравнением для внутренней

энергии:

Записать систему УГД (1.1а)-(1.4а) для , где вместо внутренней энергии используется полная энергия газа:

Технически ее нетрудно получить «в лоб» непосредственно из (1.1)-(1.3).

Для этого необходимо сначала в каждом из уравнений выделить в чистом виде производные по времени от основных функций: , , , а затем, избавившись от возникших лишних производных по , С помощью соответствующих исходных уравнений системы (1.1)-(1.3), провести необходимые преобразования. Произведя все эти операции, нетрудно представить эту систему, например, в следующем виде:

оставив в качестве независимых функций системы тройку: .
Производя всюду замену давления через функции и
приходим к следующей системе УГД:

(2.1а)

(2.2а)

(2.3а)

(2.4а)

для вектора-функции решений

и матрицы преобразований :

(2.6)

системы уравнений (2.5). Для этого требуется

решить характеристическое уравнение вида:

(2.7)

Оно приводит к следующему кубическому уравнению:

с дополнительным уравнением для внутренней энергии в обычном и матричном виде.
Найти характеристические корни. Определить тип системы.

форма. Векторное представление УГД.
В задачах с плоской симметрией лагранжева массовая

переменная выражает собою массу, приходящуюся на единицу площади поперечного сечения, и имеет размерность

Рассмотрим общее выражение:

(3.1)

устанавливающее соответствие между величинами и . Когда меняется от до , переменная пробегает значения от 0 до .

и переменными Эйлера . Очевидно, что одной

такой связи недостаточно для того, чтобы выполнить замену переменных. Необходимо еще определить вторую переменную Лагранжа – время. Это делается посредством равенства

(3.2)

которое выражает тот факт, что в лагранжевых и эйлеровых координатах время течет одинаково. В силу (3.2) время в обоих способах часто обозначают как .

динамики от переменных к лагранжевым массовым переменным

.

Выведем предварительно соотношения для преобразования производных. Как и при всякой замене переменных имеем:

(3.3)

(3.4)

производная :



(3.7)

т.е.

(3.8)
то имеем:

(3.9)

,то вместо (3.1)

имеем соотношение:

(3.10)

При вычислении в преобразовании, аналогичном (3.7), необходимо произвести дифференцирование по переменному нижнему пределу интегрирования. В результате вновь приходим к формуле (3.9). Подставляя (3.5) (3.6) и (3.9) в (3.3)-(3.4), получим:

(3.11)

(3.12)

и перепишем (3.11)-(3.12) в несколько иной форме:

(3.11a)

(3.12b)

Особенно наглядна эта связь между и начальной координатой частицы в том случае, когда исходная плотность газа постоянна:

динамики для одномерного плоского нестационарного течения в лагранжевых массовых переменных

приобретают следующий вид:

частные производные по времени:






(3.13a)
(3.14a)
(3.15a)
(3.16a)
(3.17a)