Доцент, к.ф.м.н. Богданов Олег Викторович 2016 Дифференциальные уравнения и

переменными
2. Однородные уравнения
3. Линейные уравнения
4. Уравнения Бернулли
Уравнения в полных

Уравнения, допускающие
понижение порядка
Линейные уравнения
высших порядков
а) однородные
б) неоднородные
в) неоднородные уравнения
с правой частью
специального вида

Системы дифференциальных уравнений

независимую переменную,
искомую функцию и производные искомой функции.
П о

Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение,
связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее
первую производную

неявная,
дифференциальная.
Например:
явная,
неявная,

дифференциальная.

Нахождение решения дифференциального уравнения
называется его интегрированием

Метод решения уравнения определяется типом уравнения.

уравнения называется любая дифференцируемая функция

Общим интегралом уравнения называется его решение,
полученное в неявном виде.

Каждое дифференциальное уравнение первого порядка имеет
бесконечное множество решений.
Все это множество можно описать одной функцией, которая называется
общим решением или общим интегралом дифференциального уравнения.
Из этого множества можно выбрать конкретное (частное) решение,
если задать начальное условие.

Н а ч а л ь н ы м у с л о в и е м для уравнения первого порядка
является задание значения искомой функции при заданном значении
независимой переменной, т.е.

О б щ и м решением дифференциального уравнения 1-го порядка
называется функция

З а д а ч а К о ш и -- нахождение частного решения,
удовлетворяющего заданному начальному условию.

уравнение вида
Решение таких уравнений заключается в почленном интегрировании
левой

множителем при

является функция

а множителем при

является функция

переменными правая часть
представляет собой, или может быть представлена в

, а другая -- только от

Если уравнение изначально задано в дифференциальной форме

то оно будет уравнением с разделяющимися переменными, если его
можно представить в виде

на "стоящую не у своего дифференциала" функцию
4) Интегрируем обе

- общий

интеграл уравнения

правую часть, умножаем на
и делим на
3) Интегрируем и

Или, окончательно

в другую.
2) Выносим
и
за скобки.
3) Выносим
и
за скобки и

делим на произведение

«стоящих не у своих дифференциалов», и интегрируем

т.е. функций,

Ответ:

условию.
Решить задачу Коши
1) Находим сначала общее решение уравнения:
Общее

2) Определим значение константы

Подставим в общее решение значения

исходя из начального условия.

3) Полученное значение

подставляем в выражение для общего

решения и записываем

частное решение:

е н и е. Дифференциальное уравнение
называется однородным, если

Т.е. уравнение первого порядка будет являться однородным, если его
можно представить в виде

однородным могут относиться уравнения, в которых
отношения
стоят

Т.о. к однородным относятся дифференциальные уравнения, правая
часть которых является

Тогда после деления числителя и знаменателя дроби на

останутся только постоянные числа и отношения

в разных степенях.

подстановкой
Уравнение однородное и не требует никаких
предварительных преобразований
1) Делаем

и все преобразования, которые необходимы

2) Разделяем переменные.

уравнения.

числитель и
знаменатель правой части уравнение
на
2) Сделаем замену
Уравнение
примет вид
3)

4) Интегрируем

5) Делаем обратную замену

искомая функция
и ее производная входят в уравнение в первых

Общий вид линейного уравнения

Всякое линейное уравнение прежде, чем применять методы его
решения, необходимо преобразовать к такому "классическому" виду.

Метод Бернулли (метод подстановки)

Этот метод позволяет с помощью подстановки

сводить любое линейное уравнение к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно функций

и

2) Подставляем выражение для функции и ее производной
в уравнение,

3) Функцию

равно нулю. Тогда получаем систему двух дифференциальных
уравнений для нахождения функций

ищем из условия, что выражение в скобках

и

функции
подставляем во 2-е уравнение
системы
и находим вторую функцию

6) Записываем общее решение

случаи:
Уравнение Бернулли сводится к линейному, поэтому при решении конкретных

1) Решение уравнения ищем в виде:

частного решения подставим начальное условие в полученное общее решение

Частное решение:

уравнение может быть
Линейным уравнением или уравнением Бернулли не только

Решение уравнения ищем в виде:

В остальном решение не отличается от стандартной ситуации.

Например, уравнение

не является линейным относительно

но может быть приведено

к линейному относительно

Делим на

Получаем линейное уравнение

полных
дифференциалах, если выполняется условие
Если условие выполняется, то левая

т.е.

Тогда, в соответствии с уравнением,

и поэтому общий интеграл уравнения в полных дифференциалах
запишется в виде

Таким образом, решение уравнения сводится к нахождению
функции

полного
с левой частью уравнения
Из этого сравнения видно, что

Эти соотношения используются для нахождения функции

1) Проверяем условие

Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

при этом считается постоянной
Здесь постоянная интегрирования записывается в виде функции

и эту функцию мы должны определить, используя для этого
второе соотношение

Полученное выражение для

дифференцируем по переменной

и приравниваем к функции

что существует некая функция
, для которой

находим
Искомая функция
(недостающие слагаемые
из
Общий интеграл уравнения

дифференциалах. Нужно найти функцию
Из
находим
Из
находим
вторая функция включает в себя первую,

Общий интеграл уравнения

порядка называется уравнение,
искомую функцию
и ее производные
1-го и 2-го

Уравнение

го порядка может быть записано в я в н о й форме

если оно разрешено относительно старшей производной

или в н е я в н о й

Р е ш е н и е м дифференциального уравнения

го порядка

называется

любая дважды дифференцируемая функция

которая при подстановке в уравнение, обращает его в тождество.

для уравнения состоит в нахождении
частного решения уравнения, удовлетворяющего заданным

Н а ч а л ь н ы м и у с л о в и я м и для уравнения

го

порядка являются задания значений искомой функции

и ее производных при заданном значении

О б щ и м р е ш е н и е м уравнения 2-го порядка называется функция

Заметим, что количество констант в общем решении уравнения
равно порядку уравнения.

Аналитический аппарат решения уравнений высшего порядка достаточно
хорошо разработан для линейных уравнений. Нелинейные уравнения
можно аналитически решить только, если удается понизить порядок
уравнения до первого. Но понизить порядок уравнения возможно в
следующих случаях.

Решение такого уравнения находится путем
последовательного интегрирования.
общее решение уравнения

Уравнения этого типа сводятся к уравнениям 1-го порядка
с помощью подстановки
Уравнение

решая которое

находим сначала функцию

а затем, интегрируя эту функцию, находим искомую функцию

подстановку
тогда
После подстановки получаем уравнение первого порядка
Это уравнение допускает

Интегрируя, находим искомую функцию, т.е. получаем общее решение

(Интеграл решался методом интегрирования по частям)

явном виде независимая переменная
Порядок уравнения можно понизить до первого

тогда

Интегрируя, получаем

найти
Итак, имеем
Так как
, то
Частное

или

уравнением второго порядка называется
уравнение, в котором искомая функция
и

входят в первых степенях и не перемножаются.

Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид

Если

то уравнение называется о д н о р о д н ы м .

Если

то уравнение называется н е о д н о р о д н ы м .

2-го порядка
Если функции
решениями линейного однородного уравнения
являются линейно

то его общее решение является их линейной комбинацией

Метод решение линейного однородного уравнения с постоянными
коэффициентами – это метод Эйлера

Решение уравнения ищется в виде

После подстановки в уравнение получаем квадратное уравнение

которое называется х а р а к т е р и с т и ч е с к и м уравнением

Формулы для нахождения корней квадратного уравнения

Если
уравнение имеет два различных действительных корня
и
и две линейно независимых функции
из

2. Если

уравнение имеет два одинаковых действительных корня

и две линейно независимых функции

и

из которых составляется общее решение однородного уравнения

3. Если

уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней

и две линейно независимых функции

и общее решение уравнения имеет вид

(1)

(2)

(3)

случае комплексно-сопряженные корни
Числа
и
действительные, а
мнимая единица, определяемая
соотношением

или

Теперь можно записывать решения квадратных уравнений
с отрицательным дискриминантом:

коэффициентами
Рассмотрим уравнения вида
Если
-- какое-либо частное решение данного неоднородного

то общее решение неоднородного
уравнения есть сумма

Теорема о структуре общего решения
неоднородного линейного уравнения.

случаях, когда правая часть уравнения имеет
специальный вид
где
многочлены.
Схема нахождения

1. Записываем и решаем соответствующее однородное уравнение

получаем общее решение однородного уравнения в виде

2. Находим частное решение неоднородного уравнения

Это частное решение должно повторять в общем виде выражение
для правой части неоднородного уравнения

Находим корни и

комплексное), которое нужно сопоставить
с корнями характеристического уравнения. При этом:
а)

повторяет общий вид правой части уравнения,

б) если это число является однократным корнем характеристического уравнения, то это выражение необходимо умножить на

в) если это число является двукратным корнем характеристического уравнения, то выражение общего вида необходимо умножить на

4. После подстановки в уравнение и нахождения коэффициентов
записываем выражение для и общее решение в виде

2-ой степени,
многочлен 3-ей степени и т.д.
Выражения для случая тригонометрических функций

И т.п.

совпадает с корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение повторит в

в) Общее решение:

Неопределенные коэффициенты пока не нахдим.

с одним из корней характеристического уравнения, поэтому частное решение повторит

частное решение неоднородного уравнения

c) Общее решение:

совпадает с корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение повторит в

c) Общее решение:

совпадает с одним из корней характеристического уравнения, поэтому частное решение,

Общее решение неоднородного уравнения

частное решение

обоими корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение, повторив в общем

Общее решение неоднородного уравнения

не совпадает с корнями
характеристического уравнения, поэтому частное решение
повторит

c)

Записываем общее решение неоднородного уравнения

совпадает с корнями
характеристического уравнения, поэтому частное решение
поэтому

c)

Записываем общее решение неоднородного уравнения

с корнями
характеристического уравнения, поэтому частное решение
повторит в общем

Записываем общее решение неоднородного уравнения

a)

b)

с)

корнями характеристического уравнения, поэтому
частное решение повторит в общем виде

Записываем общее решение неоднородного уравнения

корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение повторит в общем виде

Записываем общее решение неоднородного уравнения

этом случае число "0" не совпадает ни с одним корнем

Для нахождения пока неопределенных коэффициентов

подставим это решение

в исходное уравнение вместо

найдя предварительно

частях равенства, имеем
Записываем частное решение
c) Общее решение неоднородного уравнения:

с одним из корней характеристического уравнения, поэтому выражение для
повторит общий

Подставим это выражение в исходное уравнение, найдя предварительно

Имеем равенство двух многочленов

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях

в левой и правой частях равенства

двукратным корнем характеристического уравнения, поэтому выражение для
повторит общий вид правой

будет содержать множитель

Подставим это выражение в исходное уравнение, найдя предварительно

подобные
Откуда имеем
Записываем частное решение
Общее решение неоднородного уравнения

уравнения, поэтому выражение для
просто повторит общий вид правой части

Для нахождения неопределенных коэффициентов найдём первую и вторую производные от

равенстве коэффициенты
при синусах и косинусах имеем систему уравнений
Частное решение:

Общее решение исходного уравнения

вида
неоднородная система
однородная система
Решение системы - это совокупность функций, обращающих каждое
уравнение

к одному
уравнению высшего порядка. Метод достаточно прост и легко

Найти общее решение однородной системы

a) Продифференцируем первое уравнение по

b) Значение

подставим из второго уравнения

c) Значение

находим из первого уравнения

и подставляем

Окончательно система свелась к уравнению

решение системы

Значение
подставим из второго уравнения
Таким образом, имеем неоднородное уравнение

Решаем сначала соответствующее однородное уравнение

в уравнение и нахождения неопределенных
коэффициентов имеем
Частное решение

вторую функцию.
Ответ: