Электрические Цепи Однофазного Синусоидального Тока

энергии в технике. Они могут быть выполнены очень большой мощности

параметрами:
амплитудой Im и Um – макс. значение;
угловой частотой ω [1/c]

2. Величины, характеризующие синусоидальные функции

Кроме того используют величины:
1.Т – период – время одного полного колебания [c].
2. f = 1/T – частота – число периодов в 1 с [Гц]. Стандартная f=50 Гц. Используют высокие частоты - 200, 400, 500, 1000 Гц и т.д.
3. ωt+ψ -[рад] - фаза – характеризует состояние колебания (числовое значение) в данный момент времени.
4.ϕ = ψu - ψI – фазовый сдвиг между u и i.

значение переменной величины за период Т – численно равно такому

Приравняв, получим действующее значение переменного тока

Действующий I(U) - основной эксплуатационный параметр – указаны в паспорте ЭТУ. Шкалы большинства измерительных приборов проградуированы на действующие значения.

6. Среднее за полпериода значение
Icp = 2∙Im/π = 0,9∙I

помощи векторов;
в виде комплексных функций (комплексных чисел).
3.1. Аналитическое представление
i

соотношения.
При известной частоте синусоидальной величины ее действие определяется только амплитудой

В прямоугольной системе координат откладываем вектор
Его длина в масштабе равна амплитуде (действующему значению), угол поворота относительно оси Х - начальной фазе:

ϕ = ψu - ψI откладывается от I к U
«+» ψ и φ - против часовой стрелки, «-» по часовой стрелке.
Связь между аналитическим и векторным представлением – проекция вращ вектора со скоростью ω на ось Y
Векторная диаграмма – совокупность векторов в общей системе координат для t = 0.

.

Недостаток – сложность операций с векторами

на комплексной плоскости с осями координат: +1- ось действительных чисел

3.3. Представление комплексными числами

Мнимая единица

Точка на комплексной плоскости или вектор, направленный от начала координат к данной точке, изображается комплексным числом

Алгебраическая форма

Тригонометрич форма

Показательная форма

где Umb - координата точки по оси +1; UmM- по оси +j.

Формула Эйлера: cosα + jsinα = ejα
ejα - оператор поворота (относительно оси +1)
Umв = Re(Um) –действительная часть
Umм = Im (Um) – мнимая часть

ψu = arctg (Umм/Umв)

модуль вектора

Фаза вектора

вычитания к.ч.
Показательную форму используют при умножению
и

φ = ψu ± ψi

ϕ = π/2

ϕ = -π/2

U совпадает с I

U опережает I

U отстает от I

Умножение на j – поворот вектора против час стрелки на 90 град
Умножение на -j – поворот вектора по час стрелке на 90 град

При ϕ = 0

Сопряженные комплексные числа – отличаются знаком перед мнимой частью или знаком перед начальной фазой:
А=а+jв и сопряженное ему А*=а-jв
Произведение АА*=(а+jв)·(а-jв)=а2 +jав-jав-(j2)в2= а2+ в2 – действит. Используют для освобождения от к.ч. в знаменателе выражения.

тока, напряжения и т.д.)
Пример:
Дан ток i = 8sin(ωt + 20˚).

на R
ur = i∙R = R∙ Im∙sin(ωt +ψi) = Urm

6. Пассивные элементы в ЭЦ переменного тока

Закон Ома

Мощность

Средняя мощность за период – активная мощность
P = Ur∙I= Ur2/R = I2R

напряжение на L



ψu = ψi+90˚ ϕ = ψu - ψi

ULm = XL∙ Im UL = XL ∙ I - подчиняются закону Ома

В комплексной форме

Закон Ома

Мощность

по синусоидальному закону с двойной частотой –
среднее значение за период (активная Р) равны нулю –ток в L не совершает работы.
Имеет место реактивная мощность Q, связанная с магнитным полем

Сопротивление L пропорционально частоте

XL=ω·L

При ω=0 (постоянный ток) XL=0

уравнения напряжение на С

ψu = ψi-90˚ ϕ = ψu

Uсm = Xc∙ Im ;Uc = Xc ∙ I - подчиняется закону Ома

Закон Ома

Мощность

В комплексной форме

Энергетический режим L и C определяют реактивной мощностью, равной амплитудному значению мгновенной мощности:QL= UL∙I = =UL2/XL=I2∙XL; Qc= -Uc∙I = - Uc2/Xc = - I2∙Xc; Q = QL-QC [ВАр]

Обратно пропорционально частоте

к алгебраическим уравнениям (как на постоянном токе) заменяем мгновенные значения

При классическом методе расчета (по мгновенным значениям)

Имеем интегро-дифференциальное уравнение – сложно для решения

комплексном виде:




Уравнение позволяет найти комплекс тока (комплексную амплитуду) через комплекс

8.1.Комплексное сопротивление

А)Модуль комплексного сопротивления
R - активное сопротивление; X=XL- XC –реактивное сопротивление
Реактивные сопротивления . XL и XC имеют разный знак!!!
Б) Аргумент комплексного сопротивления

Характеризует сдвиг по фазе напряжение и ток

XL>Xc ; ϕ>0 – индуктивный характер сопротивления (I отстает от U)

XL

через проводимости
- активная составляющая тока – совпадает с напряжением
- реактивная

При нескольких последовательно соединенных активных и реактивных сопротивлениях.
r – активное, х – реактивное сопротивления.

начинают с вектора тока.
Далее откладывают в масштабе вектор UR, совпадающий

P = URI=UIcosφ
Q = (UL-UC)I = UIsinφ

UIcosϕ; Q = (UL-UC)I=UIsinϕ
Полная мощность
S2 = U2I2=(UIcosϕ)2+(UIsinϕ)2= P2+Q2
На комплексной

Баланс мощности

В любой момент времени алгебраическая сумма мгновенных мощностей всех источников равна алгебраической сумме мгновенных мощностей всех приемников энергии.

Алгебраическая сумма активных мощностей всех источников равна арифметической сумме мощностей всех резисторов.

Алгебраическая сумма реактивных мощностей всех источников равна алгебраической сумме мощностей всех индуктивных и емкостных элементов.

Ù = 8+j6 и ĺ = 2 - j
Найти: P,

= (8+j6)(2+j)=10+j20

2. S = √P2+Q2 = √102+202 = 22.4 ВА
3.Zвх = Ù/ĺ = (8+j6)/(2-j) = 2+j4
Rвх = 2 Ом Xвх = XL = 4 Ом
4. Схема замещения пассивного двухполюсника – последовательно соединенные резистор и индуктивность.

P=10Вт, Q=20 ВАр

полными сопротивления и мощностями могут интерпретированы на комплексной плоскости треугольниками

Из треугольника сопротивлений

Из треугольника мощностей
S2= P2+Q2
cosϕ = P/S – коэффициент мощности

токов, направленных к узлу равна сумме комплексов токов направленных от

режим работы участка ЭЦ, содержащей катушки индуктивности и конденсаторы, при

Резонанс определяется тем, что индуктивное и емкостное сопротивления зависят от частоты и имеют разный знак.
При определенном сочетании ω, L и C реактивное сопротивление Х=XL-XC=0 и входное сопротивление двухполюсника чисто активное Zвх = Rвх.
Различают:
Резонанс напряжений
Резонанс токов.

соединением R, L и C.
Из условия резонанса ϕ = 0
tgϕ

Резонанс напряжений - при XL=Xc
при этом zвх = R
Условие выполняется при изменения ω, L или С
ω0L =1/ω0C

- резонансная частота

Резонансная частота не зависит от R

= ÙR
Если XL>>R то UL = IXL>>UR=Uвх
При резонансе напряжение на

Qp = ρ/R

- волновое сопротивление

Добротность тем выше, чем больше L и меньше C и R

характеристики ЭЦ (АЧХ).
1.Ток

при ω=ω0

При резонансе ток максимален – характерный признак

При ω→0 1/ωС→∞ I =0

При ω→∞ ωL→∞ I =0

2. Входное сопротивление

При ω→ω0 zвх = R – минимален

3. Напряжение на резисторе

UR(ω) = I(ω)R

4.Напряжение на индуктивности

ω = 0 UL(0)=0

ω = ∞ UL(∞)=Uвх

Максимум UL при ω<ω0

∞ Uc(∞)=0


Максимум Uc при ω>ω0
6.Фаза (фазочастотная характеристика)

ω = 0 tgϕ(0)=-∞

ω = ∞ tgϕ(∞)=∞ ϕ=π/2

ϕ = 0

При увеличении частоты меняется характер

7. Мощность при ω = ω0

P = Uвх∙I; Qвх = 0, но QL = Qc =Uвх2Xc/R2≠ 0 !!!

Происходит периодический обмен энергией между L и C. –колебательный процесс

входного сопротивления от емкостного до активного при ω0 и далее до индуктивного.

Таким образом при резонансе напряжений:
Напряжение на реактивных элементах может существенно превышать входное напряжение.

L и C
Проводимости ветвей:
Суммарная проводимость
Из условия резонанса ϕ = 0

bL

Условие резонанса !!!

и

Резонансная частота

При R1=R2=0

сопротивление Z = 1/Y – максимально
Ток ĺ = ÙY минимален

Ток при резонансе ĺ = ĺ1a + ĺ2a = Ù(gL+gc)

Ток в конденсаторе
Общий ток
Активная мощность
Реактивная мощность
Резонанс

максимальный ток. При этом показания А = 10А, V =

UL=Uc=250B; UR = U = 100B
2. Напряжение на катушке:

3. Емкостное сопротивление:

Ом

4.Емкость:

мкФ

5. Активное сопротивление: т.к. XL=Xc, то R=Z=U/I=100/10=10Ом

6. Индуктивность: L=XL/ω = 25/(2∙π∙50) =7,96∙10-3Гн = 7,96 мГн

Гц,
R1=8 Ом, R2=3 Ом, XL=6 Ом.
Найти: С при резонансе и

2. Проводимость конденсатора

См

3.Емкостное сопротивление - из уравнения

Xc1=16,1 Ом Xc2=0,0558 ом – выбираем Xc1, соответствующее меньшему конденсатору.

4. Токи

к напряжению переменного тока U=10В. R=3Ом, XL=9Ом, Xc=5Ом.
Найти: I,

Ом

2. I = U/z = 10/5=2 A
3.P=I2R = 22∙3 = 12 Вт
4.QL=I2∙XL = 22∙9 =36 Вар
5.Qc = I2∙Xc = 22∙5 = 20 Вар
6.Q = QL – Qc = 36-20 = 16 Вар
7. S = U∙I = 10∙2 = 20 ВА