ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

при Правительстве РФ. ЗФЭИ.
(499)-144-78-19
Корпус 3, к.211

а серию платежей, распределенных во времени (регулярные выплаты). Например, погашение

долгосрочного кредита, вместе с начисленными на него процентами; периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.); дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам; выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр.
Поток платежей представляет собой ряд последовательных выплат и поступлений, причем выплаты выражаются отрицательными величинами, а поступления - положительными.
Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма - S и современная величина- A

сумма всех членов последовательности платежей R с начисленными на них

процентами к концу срока ренты. Логика финансовых операций по определению величины наращенной суммы потока платежей - S отражена на рис. 3.1. В качестве S может выступать итоговый размер создаваемого инвестиционного или какого-либо другого фонда или общая сумма задолженности.

Рис. 3.1. Схема формирования наращенной суммы S потока платежей

сумма всех его членов R, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент

времени, совпадающих с началом потока платежей или предшествующих ему. Логику финансовых операций по определению современной суммы A величины потока платежей легко понять из рис.3.2. Современная величина A может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки и пр.

Рис. 3.2. Схема дисконтирования потока платежей (получения их современной суммы A

Сумма геометрической прогрессии
S=b+b*q+b*q2+b*q3+b*q4+…+ b*qn
S=b*(qn-1)/(q-1)

поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы

между ними постоянны.
Финансовая рента имеет следующие параметры:
- член ренты (R) – величина каждого отдельного платежа выплачиваемая в 1 год (годовая выплата)
- период ренты – временной интервал между двумя соседними платежами,
- срок ренты (n) – время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода,
- процентная ставка (i) – ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.

Пусть в конце каждого года в течение n лет на

расчетный счет вносится по R рублей, сложные проценты начисляются один раз в год по ставке i. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины R(1+i ) n-1, так как на сумму R проценты начислялись в течение (n -1) года. Второй взнос увеличится до R(1+i)n-2 и т.д. На последний взнос – R проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометричес-кой прогрессии:S=R+R(1+i)+R(1+i)2+…+R(1+i)n-1 ,в которой первый член равен R, знаменатель (1+i), число членов n. Отсюда:
S = R*sn;i , (3.1)
где s n;i = [(1+i)n -1]/i - коэффициент наращения ренты. S зависит от срока ренты n и уровня процентной ставки i.

конце каждого года поступает по 10 млн руб., на которые

1 раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке в 10%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Дано:n = 3 года,R = 10 000 000 руб.,m =1, p=1, i = 0,10 .Найти S = ?
Решение Вычисления производится по формуле для обычной годовой ренты по формуле (3.1) S = 10 000 000*[(1+ 0,1)3 - 1] / 0,1 = 33 100 000,00 руб.

конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10

млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн. руб. в квартал), на которые в конце каждого года начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Дано:n = 3 года,m = 1,R = 10 000 000 руб., p = 4,i = 0,10.
Найти S = ?
Решение Вычисления проведем по формуле (3.3):
S = (10 000 000/4)*[(1+0,1)3 - 1]/ [(1+0,1) 1/4 - 1] =34 316 60,35 руб.

1, и произвольным начислением процентов m ≥ 1 (общий случай).
Наращенная

сумма рассчитывается по формуле:
S =s1+s2+…+snp = (3.5)

конце каждого квартала поступают платежи (р=4) равными долями из расчета

10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежемесячно (m=12) начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Дано:n = 3 года, m = 12,R = 10 000 000 руб.,
p = 4, j = 0,10 .Найти S = ?
Решение.
Вычисляя по формуле (3.5) находим:
S = (10 000 000/4)*[(1+0,10/12) (12х3) -1] / [(1+0,10/12) (12/4) -1] =34 529 637,96 руб.

или приведенная величина) – это сумма платежей, дисконтированных на момент

начала ренты по ставке начисляемых сложных процентов. Это важнейшая характеристика финансового анализа, т.к. является основой для измерения эффективности различных финансово-кредитных операций, сравнения условий контрактов и т.п.
Данная характеристика показывает, какую сумму-A следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные взносы - R, на которые начислялись бы установленные проценты в течение всего срока –i , можно было бы получить указанную наращенную сумму - S.

ренты равен R, процентная ставка i, срок ренты n и

проценты начисляются один раз в конце года. Тогда a1,a2,…an- приведенные к началу ренты величины первого, второго и т.д. платежей :




где - дисконтный множитель.

Приведенные величины-a1,a2,…,an- образуют геометрическую прогрессию, сумма которой равнаA:

(3.14)



где - коэффициент приведения ренты.

конце каждого года (p = 1) поступает по 10 млн

руб. Ежегодное дисконтирование производится по сложной процентной ставке в 10% годовых. Определить современную стоимость ренты.

Дано:n = 3 года, m = 1,R = 10 000 000 руб,
p = 1, j = 0,10. Найти A = ?
Решение.
Вычисляя по формуле (3.14) получим :
А = 10 000 000*[1 - (1+0,1) -3]/0,1 = 24 868  519,91 руб.

1 и m ≥ 1.
Формула (3.15) является общей для

нахождения современной величины ренты, когда р и т могут принимать произвольные значения (3.15)

конце каждого квартала поступают платежи (р=4) равными долями из расчета

10 млн. руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал). Ежемесячное дисконтирование (m=12) производится по сложной ставке 10% годовых. Определить современную стоимость ренты.

Дано:n = 3 года,m = 12, R = 10 000 000 руб.,
p = 4, j = 0,10. Найти A = ?
Решение
Вычисляя по формуле (3.15) получим:
А = (10 000 000/4)*[1 - (1+0,1/12) (-3*12)] /[(1+0,1/12)](12/4) -1] = 25 612 003,42 руб.

наращенной суммы-S , а также процентная ставка i и срок

ренты n.
Величина отдельного платежа- R по схеме постнумерандо. (3.6)

Величина отдельного платежа по схеме пренумерандо (3.7)

10 млн руб. Определить размер ежегодных платежей : а) в

конце года (постнумерандо);в) в начале года - пренумерандо по сложной процентной ставке 12% годовых.

Дано: n = 3 года,S = 10 000 000 руб.,i = 0,12 .
Найти Rпо и Rпр= ?
Решение.
а) Вычисляя по формуле (3.6)находим: Rпо= 10 000 000*0,12/[(1+0,12)3 -1] = 2 963 489,81 руб.
в) Вычисляя по формуле (3.7) находим: Rпр = (10 000 000*0,12)/[(1+0,12)((1+0,12)3 -1)] = 2 645 973,04 руб.

современной стоимости A.
Известна современная стоимость- A, процентная ставка- i,количество выплат-

n.
Величина отдельного платежа по схеме постнумерандо. (3.8)

Величина отдельного платежа по схеме пренумерандо (3.9)

сроком на 3 года под 14% годовых. Рассчитать размер ежегодных

погасительных платежей, если они будут выплачиваться a) в конце года ; b)в начале года

Дано: n = 3 года,A = 10 000 000 руб.,i = 0,14 .Найти Ra и Rb = ? Решение.
а) Вычисляя по формуле (3.8) находим:
Ra=

= 10 000 000*0,14/[1-1/(1+0,14)3] = 4 307 314,80 руб.
b) Вычисляя по формуле (3.9) находим:
R = (10 000 000*0,14)/[(1+0,14)(1-/(1+0,14)3)] = 3 778 346,32 руб.

сумма-S , процентная ставка-i , отдельный платеж -R
Срок простой

ренты при платежах по постнумерандо. (3.10)
Срок простой ренты при платежах по пренумерандо. (3.11)

30 000 000 руб. Платежи размером 5 000 000 руб. поступают ежегодно в конце

года, с начислением по сложной процентной ставке 15% годовых. Определить срок простой ренты a)постнумерандо;в)пренумерандо

Дано:R = 5 000 000 руб.,S = 30 000 000 руб.,
i = 0,15 .Найти na и nb= ? Решение.
a) По формуле (3.10) находим:
na = ln (1+30 000 000*0,15/5 000 000) / ln(1+0,15) = 4,59 года.
в) По формуле (3.11) находим: nв = ln(1+30 000 000*0,15/(5 000 000*(1+0,15)) / ln(1+0,15) = 4,14 года.

стоимости ренты A
Известна современная стоимость- A, отдельный платеж ренты –

R, процентная ставка- i.
Определение срока простой ренты при платежах по постнумерандо: (3.12)
Определение срока простой ренты при платежах по пренумерандо (3.13)

условием погашения ежегодными платежами по 6 000 000 руб. и начислением по

сложной процентной ставке 15% годовых. Определить срок простой ренты при погашении: a) в конце года (постнумерандо); b) в начале года (пренумерандо)

Дано: A = 30 000 000 руб., R = 6 000 000 руб.,
i = 0,15. Найти na и nb = ?
Решение.
a)Вычисляя по формуле (3.12) находим: n = - ln (1-30 000 000*0,15/6 000 000) / ln(1+0,15) = 9,92 года.
a)Вычисляя по формуле (3.13) находим
n = -ln (1-30 000 000*0,15/(6000 000*(1+0,15)) / ln(1+0,15) = 7,56 года.

сделок важно знать их доходность, которая определяется процентной ставкой ренты

за один период начисления. При этом считается, что известны следующие значения: отдельный платеж R, срок займа n и наращенная сумма S (или современная стоимость А). В Excel данная задача решается с помощью финансовой функции СТАВКА.

облагаются налогом, что уменьшает реально получаемую наращенную сумму. Пусть S

– наращенная сумма до уплаты налога, С – после уплаты налога, g – ставка налога. Тогда получаем сумму налога Ig=(S-P)g, а наращенная сумма после уплаты налога составит
C=S-Ig=P(1+n(1-g)i)
Вывод: учет налога сводится к сокращению процентной ставки – для получения реального наращения следует вместо ставки i применять ставку (1-g)i.

денег (индекс ),
- рост цен (индекс

роста цен =1/ ).
Пример: в начале года за 1 руб. покупали 100 г сахара, в конце – 90 г.
Наращенная сумма С с учетом покупательской способности денег составит
,

где – скорректированный на инфляцию множитель наращения.